[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1949-02-02

1949年(昭和24年)東京大学(旧制)理学部-数学[1]

[1] $a_1$ ， $a_2$ ， $\cdots\cdots$ ， $a_{n-2}$ （ $n\geqq 3$ ）を実数とし， $a_1\neq 0$ とすれば，方程式
$x^n+a_1x^{n-3}+a_2x^{n-4}+\cdots\cdots+a_{n-2}=0$
は少くとも二つの虚根を有することを証明せよ．

2020.03.26記

[解答]
解を $\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n$ とする。もし全てが実数とすると、解と係数の関係から
$\alpha_1^2+\cdots+\alpha_n^2=(\alpha_1+\cdots+\alpha_n)^2-2\displaystyle\sum_{i\neq j} \alpha_i\alpha_j=0$
となり、 $\alpha_1=\cdots=\alpha_n=0$ となり、 $a_1\neq 0$ に矛盾。

よって方程式は少なくとも2つの虚数解をもつ。