1949年(昭和24年)東京大学(旧制)理学部-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] 次の函数 $f(x)$ のグラフをえがけ．
$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\dfrac{d\theta}{1-2x\cos\theta+x^2}$

2020.03.26記
$\tan\dfrac{\theta}{2}=t$ と置換。 $x=\pm 1$ かどうかで場合分けして $\displaystyle \int \dfrac{dt}{t^2+k^2}=\dfrac{1}{k}\tan^{-1}\dfrac{t}{k}+C$ を利用すると
$f(x)=\dfrac{2\pi}{|1-x^2|}$ となる。

この積分は、複素関数の積分で留数計算をして求める練習問題で良く見かける。

2020.03.27記

[解答]
$x=\pm 1$ のとき、
$f(1)=\displaystyle 2\int_{0}^{\pi} \dfrac{d\theta}{1-2\cos\theta}= 4 \int_{0}^{\pi} \dfrac{d\theta}{\sin^2\theta}= 4\left[-\cot\theta\right]_0^{\pi/2}$ は発散
$f(-1)=\displaystyle 2\int_{0}^{\pi}\dfrac{d\theta}{1+2\cos\theta}=4 \int_{0}^{\pi}\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta}=4\left[\tan\theta\right]_0^{\pi/2}$ は発散

$x\neq\pm 1$ のとき、
$\tan\dfrac{\theta}{2}=t$ とおくと、 $d\theta=\dfrac{2dt}{1+t^2},\, \cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ であるから、
$f(x)=\displaystyle 2\int_0^{\pi} \dfrac{d\theta}{1-2x\cos\theta+x^2}$ $=\displaystyle 4\int_0^{\infty} \dfrac{dt}{(1-x)^2+(1+x)^2t^2}$ $=\displaystyle \dfrac{4}{(1+x)^2} \int_0^{\infty} \dfrac{dt}{t^2+\dfrac{(1-x)^2}{(1+x)^2}}$ $=\displaystyle \dfrac{4}{(1+x)^2} \cdot \left| \dfrac{1+x}{1-x}\right| \left[ \tan^{-1} \left| \dfrac{1+x}{1-x}\right| t\right]_0^{\infty}$ $=\displaystyle \dfrac{4}{|1-x^2|}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2\pi}{|1-x^2|}$