[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1950年(昭和25年)東京大学(新制)-数学(解析II)[3]

[3] 次の極限値を求む.

(1) \displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}

(2) \displaystyle\lim_{n\to\infty}\{\log n-\log(n-1)\}

(3) \displaystyle\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})

(4) \displaystyle\lim_{\theta\to 0}\dfrac{1-\cos 3\theta}{\theta^2}

2024.11.04記

[解答]
(1) \displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}=\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x-2}{x-3}=\dfrac{1}{2}

(2) \displaystyle\lim_{n\to\infty}\{\log n-\log(n-1)\} =\displaystyle\lim_{n\to\infty}\log \left(1+\dfrac{1}{n-1}\right)=\log 1=0

(3) \displaystyle\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}=0

(4) \displaystyle\lim_{\theta\to 0}\dfrac{1-\cos 3\theta}{\theta^2}=\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\dfrac{1-\cos 3\theta}{(3\theta)^2}\cdot 9=\dfrac{9}{2}