1993年(平成5年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.07記

[1] すべての面が合同な四面体 $\mbox{ABCD}$ がある．頂点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ はそれぞれ $x$ ， $y$ ， $z$ 軸上の正の部分にあり，辺の長さは $\mbox{AB}=2l-1$ ， $\mbox{BC}=2l$ ， $\mbox{CA}=2l+1$ （ $l\gt 2$ ）である．四面体 $\mbox{ABCD}$ の体積を $V(l)$ とするとき，次の極限値を求めよ．
$\displaystyle\lim_{l\to2}\dfrac{V(l)}{\sqrt{l-2}}$

本問のテーマ

等面四面体

2024.01.08記
$l$ の定義域が $l\gt 2$ のため $l$ を $2$ に近づける方法は右から近づけることに限られるので $\displaystyle\lim_{l\to2}$ で問題ないのだが，鉄緑会では $\displaystyle\lim_{l\to2+0}$ と親切に右側極限（右方極限）に修正してある．

[解答]
$\mbox{A}(a,0,0)$ ， $\mbox{B}(0,b,0)$ ， $\mbox{C}(0,0,c)$ ， $\mbox{E}(a,b,c)$ （ $a,b,c\gt 0$ ）とおくと
$\mbox{AB}=\mbox{CE}=\sqrt{a^2+b^2}=2l-1$ ，
$\mbox{BC}=\mbox{AE}=\sqrt{b^2+c^2}=2l$
$\mbox{CA}=\mbox{EB}=\sqrt{a^2+c^2}=2l+1$
であるから，四面体をなす4つの面は全て $2l-1，2l，2l+1$ を三辺の長さとする三角形で合同となり，題意をみたす四面体であるから $\mbox{D}=\mbox{E}$ となる．

このとき $a=\sqrt{2l^2+1}$ ， $b=\sqrt{2l^2-4l}$ ， $c=\sqrt{2l^2+4l}$ となり， $l\gt 2$ から確かに $a,b,c$ は存在する．

このとき，四面体 $\mbox{ABCD}$ の体積は立方体の体積の $\dfrac{1}{3}$ であるから，
$V(l)=\dfrac{\sqrt{2l^2+1}\cdot\sqrt{2l^2-4l}\cdot\sqrt{2l^2+4l}}{3}$
$=\dfrac{\sqrt{2l^2+1}\cdot2l\cdot \sqrt{l-2}\cdot\sqrt{l+2}}{3}$
となり，よって
$\displaystyle\lim_{l\to2}\dfrac{V(l)}{\sqrt{l-2}}$ $=\displaystyle\lim_{l\to2}\dfrac{\sqrt{2l^2+1}\cdot2l\cdot\sqrt{l+2}}{3}$ $=\dfrac{3\cdot 4\cdot 2}{3}=8$
となる．