1953年(昭和28年)東京大学-数学(幾何)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] 四直線 $x-y-4=0$ ， $2x+5y-15=0$ ， $4x-y+3=0$ ， $x+3y+4=0$ で囲まれた面積を求めよ．

2020.09.24記

[解答]
4直線を順番に $a,b,c,d$ とする．
$a，b$ の交点は ${\rm C}(5,1)$ ， $b，c$ の交点は ${\rm A}(0,3)$ ， $c，a$ の交点は ${\rm B}(-7/3,-19/3)$ である．

$d$ が $\triangle{\rm ABC}$ の内部を通るかどうかを考える． ${\rm A，C}$ は $d$ の正領域， ${\rm B}$ は $d$ の負領域にあるので， $d$ は $\triangle{\rm ABC}$ の内部を通り、その交点は ${\rm BA，BC}$ 上にある．そしてそれらは $d，c$ の交点 ${\rm D}(-1,-1)$ ， $d，a$ の交点 ${\rm E}(2,-2)$ である．

[1]

よって求める面積は四角形 ${\rm ACED}=\triangle{\rm ACD}+\triangle{\rm ECD}$ である．
${\rm CD}$ の式は $y=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}$ であるから
$\triangle{\rm ACD}=\dfrac{1}{2}\cdot ({\rm A}から直線{\rm CD}への y 軸に沿う長さ)$ $\times ({\rm C，D}の x 座標の差)$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{11}{3}\cdot 6=11$ ，
$\triangle{\rm ECD}=\dfrac{1}{2}\cdot ({\rm E}から直線{\rm CD}への y 軸に沿う長さ)$ $\times ({\rm C，D}の x 座標の差)$ $=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 6=6$
となり，四角形 ${\rm ACED}=17$ となる．