2021年(令和3年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1]

$a,b$ を実数とする．座標平面上の放物線 $C:y=x^2+ax+b$ は放物線 $y=−x^2$ と $2$ つの共有点をもち，一方の共有点の $x$ 座標は $−1\lt x\lt 0$ を満たし，他方の共有点の $x$ 座標は $0\lt x\lt 1$ を満たす．

(1)点 $(a,b)$ のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ．

(2)放物線 $C$ の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ．

2021.02.25記

[解答]

(1) $f(x)=x^2+ax+b-(-x^2)$ とおくと， $f(-1)=2-a+b\gt 0$ ， $f(0)=b\lt 0$ ， $f(1)=2+a+b\gt 0$ だから， $(\pm2,0)$ ， $(0,-2)$ からなる3角形の周または内部．

図示略

(2) $x$ を固定したとき， $ab$ 平面の直線 $xa+b+x^2-y=0$ と(1)の3角形が交点をもつような $y$ 範囲の最大、最小は必ず直線が3頂点のいずれかを通る場合におこる．

よって
$\min\{x^2-2x,x^2+2x,x^2-2\}$ $\leqq y$ $\leqq\max\{x^2-2x,x^2+2x,x^2-2\}$
となり，
$x\leqq -1$ のとき $x^2+2x\leqq y\leqq x^2-2x$
$-1\leqq x\leqq 0$ のとき $x^2-2\leqq y\leqq x^2-2x$
$0\leqq x\leqq 1$ のとき $x^2-2\leqq y\leqq x^2+2x$
$1\leqq x$ のとき $x^2-2x\leqq y\leqq x^2+2x$
となる．