1958年(昭和33年)東京大学-数学(解析Ｉ)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] 変量 $y$ が変量 $x$ に正比例することは理論的にわかっているが，比例定数 $a$ の値がわからない．そこで， $x=2$ ， $3$ ， $4$ のときの $y$ の値を測ったところ，それぞれ $3.1$ ， $4.4$ ， $5.6$ という測定値を得た． $a$ の値をかりに定めたとき $3.1-2a$ ， $4.4-3a$ ， $5.6-4a$
をそれぞれ $x=2$ ， $3$ ， $4$ に対応する $y$ の測定の誤差とみなす．このとき，

(i) 誤差の二乗の和が最小となるように $a$ の値を定めよ．

(ii) 誤差の絶対値の和が最小となるように $a$ の値を定めよ．

ただし，小数第三位を四捨五入して小数第二位まで求めよ．

本問のテーマ

最小二乗基準による代表値の定義
最小絶対偏差基準による代表値の定義
最小二乗基準による原点を通る回帰直線
最小絶対偏差基準による原点を通る回帰直線

2019.04.03記
誤差の二乗和を最小とするのは平均値、誤差の絶対値和を最小とするのは中央値、という統計の初歩の問題なのだが、高校生に統計を必修化させる割りに、代表値をこの観点から教えていないのが問題。

[解答]
(i) $(3.1-2a)^2+(4.4-3a)^2+(5.6-4a)^2$ $=4(1.55-a)^2+9\Bigl(\dfrac{4.4}{3}-a\Bigr)^2+16(1.4-a)^2$ を最小にする $a$ は、 $1.55，\dfrac{4.4}{3}，1.4$ がそれぞれ $4，9，16$ 個あるときの平均値であるから、 $\dfrac{6.2+13.2+22.4}{4+9+16}$ $=\dfrac{41.8}{29}=1.441\cdots$ により、 $a=1.44$

(ii) $|3.1-2a|+|4.4-3a|+|5.6-4a|$ $=2|1.55-a|+3\Bigl|\dfrac{4.4}{3}-a\Bigr|+4|1.4-a|$ を最小にする $a$ は、 $1.55，\dfrac{4.4}{3}，1.4$ がそれぞれ $2，3，4$ 個あるときの中央値であるから、 $\dfrac{4.4}{3}=1.466\cdots$ により、 $a=1.47$

2020.04.01記
（うっかり二重に書いていた．1年後に解説を書くと考え方は同じだけど文章がちょっと違う）

[解答]
(i) 誤差の二乗の和は $4(1.55-a)^2+9\Bigl(\dfrac{4.4}{3}-a\Bigr)^2+16(1.4-a)^2$ となるので、 $1.55$ が4個， $\dfrac{4.4}{3}$ が9個， $1.4$ が16個の合計29個のデータの平均値を考えれば良く，それは
$a=\dfrac{4\times1.55+9\times\dfrac{4.4}{3}+16\times1.4}{2^2+3^2+4^2}$ $=\dfrac{41.8}{29}$ $=1.44$

(ii) 誤差の絶対値の和 $2|1.55-a|+3\left|\dfrac{4.4}{3}-a\right|+4|1.4-a|$ となるので、 $1.55$ が2個， $\dfrac{4.4}{3}$ が3個， $1.4$ が4個の合計9個のデータの平均値を考えれば良く，それは $\dfrac{4.4}{3}=1.47$ である。

2022.05.03記
本問を比重の問題として，原点を通る回帰直線としても良い．
$(x_i,y_i)$ に対して， $\hat{y_i}=ax_i$ とする．

[別解]
(i)の最小二乗基準における原点を通る直線のあてはめは
$L(a)=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n (y_i -ax_i)^2$
$=\overline{y^2}-2a\overline{xy}+a^2\overline{x^2}$
$=\overline{x^2}\left(a-\dfrac{\overline{xy}}{\overline{x^2}}\right)^2 +\dfrac{\overline{x^2}\cdot \overline{y^2}-(\overline{xy})^2}{\bar{x^2}}$
の最小化なので， $a=\dfrac{\overline{xy}}{\overline{x^2}}$ となり，本問の場合，
$a=\dfrac{2\cdot 3.1+3\cdot 4.4+4\cdot 5.6}{2^2+3^2+4^2}$ $=\dfrac{41.8}{29}$ $=1.44$
となる．

(ii)の最小絶対偏差基準おける原点を通る直線のはてはめは
2008年(平成20年)東京大学後期-総合科目ＩＩ[1]A - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
と同様に考えると，必ず原点という仮想データを通るので，もう1つのデータ点を通ることがわかる．
そしてその最小値は，傾きの中央値となることが幾何的にわかる．
傾きは $1.55$ ， $\dfrac{4.4}{3}$ ， $1.4$ となるので，その中央値は $\dfrac{4.4}{3}=1.466\cdots$ から $1.47$ である．