1954年(昭和29年)東京大学-数学(幾何)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] 空間において，3定点 $\rm A$ ， $\rm B$ ， $\rm C$ からの距離の2乗の和が一定であるような点の軌跡を求めよ．

2020.09.24記
有名問題で，3点の重心を中心とする球面となるが，距離の2乗の和が一定以上小さくなると，1点や虚円（空集合）となる．

3点が三角形をなさない場合もあるので、迂闊に三角形ABCの重心を中心とする…と書いてはいけない、と指摘していた参考書もあったが、おそらく東大は気にしないと思う。念のため、3点の重心と答えておけば問題ないのだが。

当時はベクトルが範囲外だったので，中線定理を用いて変形することになるが，現在はベクトルが簡明である．

ベクトルで ${\rm A}(\vec{a})$ などと書くと，軌跡上の点 $\rm P$ は、一定値を $k$ とおくと
${\rm PA}^2+{\rm PA}^2+{\rm PA}^2=3|\vec{p}|^2-2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot \vec{p}+|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2=k$
となる．よって $\vec{g}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ とおき，これを位置ベクトルとする点を $\rm G$ とおくと
${\rm PG}^2=|\vec{p}-\vec{g}|^2=\dfrac{k-|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2-|\vec{c}|^2+3|\vec{g}|^2}{3}$
で一定となる．ここで位置ベクトルの始点を $\rm G$ にとると $\vec{a}=\vec{\rm GA}$ などにより
${\rm PG}^2=\dfrac{k-{\rm GA}^2-{\rm GB}^2-{\rm GC}^2}{3}$
となるので

(i) 一定値が ${\rm GA}^2+{\rm GB}^2+{\rm GC}^2$ より大きいとき， $\rm G$ 中心の球面，
(ii) 一定値が ${\rm GA}^2+{\rm GB}^2+{\rm GC}^2$ に等しいとき，一点 $\rm G$ ，
(iii) 一定値が ${\rm GA}^2+{\rm GB}^2+{\rm GC}^2$ より小さいとき，空集合．