[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1958年(昭和33年)東京大学-数学(一般数学)[1]

2020.10.25記

[1] 連立方程式 $0.5x+1.2y=4.1$ ， $0.3x+1.8y=4.4$ がある．左辺の係数および右辺の数値が，いずれも小数第二位を四捨五入した近似値であるとすれば， $x$ の真の値はどのような範囲にあるか．

2022.02.18記

[解答]
連立方程式 $ax+by=e$ ， $cx+dy=f$ の解は
$(x,y)=\left(\dfrac{de-bf}{ad-bc},\dfrac{af-ce}{ad-bc}\right)$
である．

今、 $0.45\times 1.75 - 0.35\times 1.25=0.35\lt ad-bc$ ， $4.05\times 1.75 - 4.45\times 1.25=1.525 \lt de-bf$ ，
$0.45\times 4.35 - 0.35\times 4.15= 0.505 \lt af-ce$ ，
であるから， $x,y\gt 0$ である．
$x=\dfrac{de-bf}{ad-bc}$
に $a,c,e,f$ が1つしか登場していないことに注意すると

$a$ が大きいほど $x$ は小さくなる
$c$ が小さいほど $x$ は小さくなる
$e$ が小さいほど $x$ は小さくなる
$f$ が大きいほど $x$ は小さくなる

ことがわかる．また
$x=\dfrac{e}{a}-\dfrac{by}{a}=\dfrac{e}{a}-\dfrac{b(af-ce)}{a(ad-bc)}$
に $d$ が1つしか登場していないことに注意すると

$d$ が小さいほど $x$ は小さくなる

ことがわかる．また
$x=\dfrac{f}{c}-\dfrac{dy}{c}=\dfrac{f}{c}-\dfrac{d(af-ce)}{c(ad-bc)}$
に $b$ が1つしか登場していないことに注意すると

$b$ が大きいほど $x$ は小さくなる

ことがわかる．

以上から，

$x$ が最小となるときは $a=0.55,b=1.25,c=0.25,d=1.75,e=4.05,f=4.45$ であり，
$x$ が最大となるときは $a=0.54,b=1.15,c=0.35,d=1.85,e=4.15,f=4.35$ である．

以上を代入して整理すると
$\dfrac{61}{26}\lt x\lt\dfrac{535}{86}$
となり，小数第二位を四捨五入すると
$2.3\lt x\lt 6.2$
となる．