1954年(昭和29年)東京大学-数学(解析ＩＩ)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] 右の図で曲線 $\rm ACB$ は $y$ 軸に関して対称で，点 $\rm A$ ， $\rm B$ で $x$ 軸に接し，かつ $x$ の4次の整式のグラフとなっている．

(i) 曲線 $\rm ACB$ の方程式を求めよ．

(ii) 曲線 $\rm ACB$ と $x$ 軸で囲まれる部分を $y$ 軸のまわりに回転するときできる立体の体積を求めよ．（赤字部分は筆者が追加）

2020.09.24記
問題文は「曲線を回転させてできる立体の体積」とあったが，これだと曲面の体積となっておかしいので，
「曲線と $x$ 軸で囲まれる部分」を回転させてできる体積というように問題文を修正しておく．

当時はバームクーヘンが知られていなかったので

[解答]
(i) 曲線 $\rm ACB$ は点 $\rm A$ ， $\rm B$ で $x$ 軸に接するので $y=C(x+a)^2(x-a)^2$ とおくことができ，[\mbox{C}(0,2a)] を通ることから
$y=\dfrac{2}{a^3}(x+a)^2(x-a)^2$
となる．

(ii) 求める体積は
$\displaystyle\int_0^{2a} \pi x^2 dy$ $\displaystyle=\int_0^{2a} \pi \Bigl(a^2-\sqrt{\dfrac{a^3y}{2}}\Bigr) dy$ $=\pi\Bigl[a^2y-\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{a^3}{2}} y^{3/2}\Bigr]_0^a$ $=\dfrac{2\pi a^3}{3}$
である．

バームクーヘン積分を用いると次のようになる．

[別解]
(ii) 求める体積は
$\displaystyle\int_0^{a} 2\pi x \cdot\dfrac{2}{a^3}(x^4-2a^2x^2+a^4) dx$ $\displaystyle=\dfrac{4\pi}{a^3} \Bigl[\dfrac{x^6}{6}-\dfrac{a^2}{2}x^4+\dfrac{a^4}{2}x^2\Bigr]_0^{a}$ $\displaystyle=\dfrac{2\pi a^3}{3}$
となる．