[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1968-01-05

1968年(昭和43年)東京大学-数学(理科)[4]

2020.09.29記

[4] $(x，y，z)$ を空間の直交座標とし，点 $(1，0，0)$ を通り $z$ 軸に平行な直線を $l$ とする． $yz$ -平面内にあって $y=1−z^2$ で表わされる曲線の $−1\leqq z\leqq 1$ なる部分を，直線 $l$ のまわりに回転してできる曲面と，平面 $z=1$ および $z=−1$ とによって囲まれた部分の体積を求めよ．

[図]

2024.02.23記

[解答]
回転体の $z=k$ （ $-1\leqq k\leqq 1$ ）による断面は半径 $\sqrt{1+(1-k^2)^2}$ の円であるから，求める体積は
$\displaystyle\int_{-1}^1 \pi\{1+(1-k^2)^2\}\,dk$ $=2\pi \displaystyle\int_{0}^1 (2-2k^2+k^4)\,dk$ $=\dfrac{46\pi}{15}$
となる．