[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1968年(昭和43年)東京大学-数学(理科)

2020.09.29記

[1] 平面上の点 $(x，y)$ で
$x^2-5x$ $\lt y$ $\lt \dfrac{\pi}{5} \sin\Bigl(\dfrac{\pi x}{5}\Bigr) - \dfrac{3}{5}\sin^2\Bigl(\dfrac{\pi x}{5}\Bigr)$
を満たす範囲が，直線 $y=\alpha x$ によって面積の等しい2 つの部分に分けられるように， $\alpha$ の値を定めよ．

[2] 正方形 $\rm ABCD$ を底面とし， $V$ を頂点とする正四角錐（すい）において，底面と斜面のなす二面角が $45^{\circ}$ のとき，となりあう2 つの斜面のなす二面角を求めよ．

[3] $\alpha，\beta$ は与えられた実数とする． $x$ の2 次式
$f(x)=ax^2+bx+c$
の係数 $a，b，c$ が $a+b+c=0$ なる関係式を満たしながら動くとき，座標 $(f(\alpha)，f(\beta))$ をもつ点の全体は，平面上のどんな集合になるか．

[4] $(x，y，z)$ を空間の直交座標とし，点 $(1，0，0)$ を通り $z$ 軸に平行な直線を $l$ とする． $yz$ -平面内にあって $y=1−z^2$ で表わされる曲線の $−1\leqq z\leqq 1$ なる部分を，直線 $l$ のまわりに回転してできる曲面と，平面 $z=1$ および $z=−1$ とによって囲まれた部分の体積を求めよ．

[図]

[5] 整数を係数とする次数3 の多項式 $P(x)$ で，次の条件を満たすものを求めよ．

(1) $P(x)$ のグラフは原点に関して対称である．

(2) $P(x)=0$ は重根をもたない．

(3) $P(x)$ は極大値も極小値ももたない．

(4) $P\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)$ は整数である．

(5) $0\lt P(1)\lt 6$ である．

[6] 次の問い(i)，(ii)，(iii) に答えよ．

(i) $\alpha$ が $0\lt \alpha \lt 1$ を満たす有理数ならば，区間 $0\leqq x\leqq 1$ の上で不等式 $1+\dfrac{\alpha}{2}x\leqq (1+x)^{\alpha}$ が成り立つことを示せ．

(ii) $2^{200}$ のけた数はいくつか．またその最上位の数は何か．その理由を述べよ．

注1．たとえば $2^{10}=1024$ のけた数は $4$ ，最上位の数は $1$ である。なおこの数が $10^3$ に近いことに注意せよ。

注2． $\log_{10} 2≒0.3010$ であるが，この数値を証明に用いてはならない．

(iii) $0.300\lt \log_{10} 2 \lt 0.302$ であることを示せ．

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