1954年(昭和29年)東京大学-数学(幾何)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] 平面上に点 $\rm A$ と，それを通らない直線 $g$ とが与えられている．この平面上に点 $\rm P$ をとり， $\rm P$ から $g$ に下した垂線の足を $\rm Q$ とする． $\rm AP:AQ$ が一定の値をとるような点 $\rm P$ の軌跡は何か．その図をえがけ．

2024.09.22記
離心率による2次曲線の定義は $\rm AP:PQ$ が一定となるものだから，本問とは異なるが，結局は点 $\rm P$ の座標の2次式になるので（縮退する場合もあるが）2次曲線となることがわかる．

[解答]
$\rm AP:AQ$ $=k:1$ ， $\mbox{A}(0,a)$ （ $a\gt 0$ ）， $g：y=0$ となるように座標を定め， $\mbox{P}(X,Y)$ とおく

このとき $\mbox{AP}$ $=\sqrt{X^2+(Y-a)^2}$ ， $\mbox{AQ}$ $=\sqrt{X^2+a^2}$ であるから
$k^2(X^2+a^2)=X^2+(Y-a)^2$ ，
つまり
$(1-k^2)X^2+(Y-a)^2=k^2a^2$
となる．

(i) $0\lt k\lt 1$ のとき：楕円 $\dfrac{x^2}{\left(\dfrac{ka}{\sqrt{1-k^2}}\right)^2}+\dfrac{(y-a)^2}{(ka)^2}=1$ （ $\dfrac{ka}{\sqrt{1-k^2}}\gt ka$ より横長の楕円，離心率 $k$ ）