1955年(昭和30年)東京大学-数学(一般数学)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.01.17記

[1] ある人が $A$ 円を預金しその後一年目ごとに $\dfrac{A}{10}$ 円ずつ引き出すとする．利息は年
$8$ % の利率で，一年ごとの複利で計算するとすれば，何回引き出したときにはじめて残りが $\dfrac{A}{10}$ 円未満となるか．ただし $\log_{10} 2=0.3010$ ， $\log_{10} 3=0.4771$ とする．

2022.01.17記

当時は，数表の線型補間があったので，それを用いることになる．

[解答] $n$ 年後の残金を $a_n$ とすると
$a_{n+1}=1.08a_n-\dfrac{A}{10}$
であるから，
$a_n=\dfrac{A(5-1.08^n)}{4}$
となるので，
$\dfrac{A(5-1.08^n)}{4}\lt\dfrac{A}{10}$
つまり
$4.6\lt 1.08^n$
と解けば良い．
$\log 4.5=2\log 3-\log 2=0.6532$ ，
$\log 4.8=4\log 2+\log 3-1=0.6811$
だから，線型補間により
$\log 4.6=\dfrac{2\log 4.5+\log4.8}{3}=0.6625$
となる．また， $\log 1.08=3\log 3+2\log 2 -2=0.0333$
であるから，
$4.6\lt 1.08^n \Longleftrightarrow n\gt\dfrac{0.6625}{0.0333}=19.89\cdots$
となり，求める答えは20年後となる．

$\log_{10} 4.6=0.662757\cdots$ ，
$1.08^{19}=4.315\cdots$ ，
$1.08^{20}=4.660\cdots$
となる。