1961年(昭和36年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.06.21記

[2] $x$ の4次式 $f(x)$ において
$f(-0.2)=2.226$ ， $f(-0.1)=2.460$ ， $f(0)=2.718$ ， $f(0.1)=3,005$ ， $f(0.2)=3.320$
であるとき， $f'(0)$ を求めよ．

2020.06.21記
部分分数分解 - 球面倶楽部零八式 mark II
からわかるように、Lagrange の補間公式の問題。

$g(x)=(x+0.2)(x+0.1)x(x-0.1)(x-0.2)$ とおくと、
ラグランジュの補間公式により、
$f(x)=\dfrac{f(-0.2)}{g'(-0.2)}(x+0.1)x(x-0.1)(x-0.2)$ $+\dfrac{f(-0.1)}{g'(-0.1)}(x+0.2)x(x-0.1)(x-0.2)$ $+\dfrac{f(0)}{g'(0)}(x+0.2)(x+0.1)(x-0.1)(x-0.2)$ $+\dfrac{f(0.1)}{g'(-0.1)}(x+0.2)(x+0.1)x(x-0.2)$ $+\dfrac{f(0.2)}{g'(-0.2)}(x+0.2)(x+0.1)x(x-0.1)$
が成立する。両辺を $x$ で微分して0を代入すれば答えば求まる。規則性を考えると

$f'(0)=f(-0.2)\dfrac{10\cdot (1)\cdot (-1)\cdot (-2)}{(-1)\cdot (-2)\cdot (-3)\cdot (-4)}$ $+f(-0.1)\dfrac{10\cdot (2)\cdot (-1)\cdot (-2)}{(1)\cdot (-1)\cdot (-2)\cdot (-3)}$ $+0$ $+f(0.1)\dfrac{10\cdot (2)\cdot (1)\cdot (-2)}{(3)\cdot (2)\cdot (1)\cdot (-1)}$ $+f(0.2)\dfrac{10\cdot (2)\cdot (1)\cdot (-1)}{(4)\cdot (3)\cdot (2)\cdot (1)}$
$=\dfrac{5f(-0.2)-40f(-0.1)+40f(0.1)-5f(0.2)}{6}$ $=2.715$
（３項目は偶関数だから微分すると奇関数となるので、0を代入すると0になる）

まぁ、本問自体は対称性を利用すれば Lagrange の補間公式を使うまでもなく簡単。

[解答] $f(x)=a(10000x^4)+b(1000x^3)+c(100x^2)+d(10x)+e$ とおくと、 $f'(0)=10d$ である。
単純計算により $8\{f(0.1)-f(-0.1)\}-\{f(0.2)-f(-0.2)\}$ $=8\cdot 2\cdot (b+d)-2\cdot (8b+2d)$ $=12d$ だから、 $f'(0)$ $=10d$ $=\dfrac{40\{f(0.1)-f(-0.1)\}-5\{f(0.2)-f(-0.2)\}}{6}$ $=2.715$