1955年(昭和30年)東京大学-数学(解析Ｉ)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.01.12記

[3] 図のように長方形 $\rm ABCD$ の中にたがいに外接する二円 ${\rm O}，{\rm O}′$ があって，円 $\rm O$ は $\rm AB$ と $\rm BC$ に接し，円 ${\rm O}′$ は $\rm AD$ と $\rm DC$ に接する．
このとき二円の面積の和を円 $\rm O$ の半径 $x$ の函数 $f(x)$ と考えてそのグラフをえがきその函数の最大値と最小値を求めよ．
ただし ${\rm AB}=8a，{\rm BC}=9a$ とする．

注意． $f(x)$ のグラフをえがくのには，右図のような座標軸を答案用紙に写しとって用いよ．

［図が2 つ］

2022.01.12記

[解答]

円 ${\rm O}'$ の半径を $y$ とし、 $x+y=t$ とおくと，中心間距離と半径の和が等しいことから
$(8a-x-y)^2+(9a-x-y)^2=(x+y)^2$ ，
つまり
$(8a-t)^2+(9a-t)^2=t^2$
となり，整理して
$t^2-34at+145a^2=(t-5a)(t-29a)=0$
となる．ここで $t\lt 8a$ から $t=5a$ となる．

円が長方形の内部にあることから，
$0\lt 2x, 2y\leqq 8a$ ， $x+y=5a$
となるので， $a\leqq x\leqq 4a$ であり，
円の面積の和 $f(x)$ は
$f(x)=\pi(x^2+y^2)=2\pi\left\{\left(x-\dfrac{5}{2}a\right)+\dfrac{25}{2}a^2\right\}$
となる．

よって $f(x)$ のグラフは次図のようになり

「図略」

その最大値は $17\pi a^2$ ，最小値は $\dfrac{25}{2}\pi a^2$ となる．