1955年(昭和30年)東京大学-数学(解析ＩＩ)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.01.12記

[2] 直交座標に関し，四点 ${\rm O}(0，0)$ ， ${\rm A}(1，0)$ ， ${\rm B}(1，1)$ ， ${\rm C}(0，1)$ を頂点とする正方形がある． $x\gt 0$ ， $y\gt 0$ ， $xy =2$ となるように二点 ${\rm P}(x，0)$ ， ${\rm Q}(0，y)$
をとるとき， $\triangle\rm OPQ$ と正方形 $\rm OABC$ との共通部分の面積の最大値を求めよ．

2022.01.12記

[略解] 共通部分の面積を $S(x)$ とする．

(i) $0\lt x\leqq 1$ のとき：
共通部分は $\rm C,O,P$ および $\left(1,\dfrac{2-2x}{x^2}\right)$ からなる台形だから、その面積は
$S(x)=\dfrac{x(4-x)}{4}$
となり，これは $0\lt x\leqq 1$ で単調増加

(ii) $1\leqq x\leqq 2$ のとき：
共通部分は $\rm C,O,A$ ， $\left(1,\dfrac{2-2x}{x^2}\right)$ ， $\left(\dfrac{2x-x^2}{2},1\right)$ からなる台形だから、その面積は
$S(x)=1-\dfrac{1}{4}\left(x-2+\dfrac{2}{x}\right)^2$
は $x=\sqrt{2}$ で最小値 $2\sqrt{2}-2$ をとる．