2022年(令和4年)大阪大学-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.01記

[3] 正の実数 $t$ に対し，座標平面上の2点 ${\rm P}(0,t)$ と ${\rm Q}\left(\dfrac{1}{t},0\right)$ を考える． $t$ が $1\leqq t\leqq 2$ の範囲を動くとき，座標平面内で線分 $\rm PQ$ が通過する部分を図示せよ．

2022.03.01記
包絡線の問題．直線 $\rm PQ$ と $xy=\dfrac{1}{4}$ が $\rm PQ$ の中点 $\left(\dfrac{1}{2t},\dfrac{t}{2}\right)$ で接することは受験数学ではやはり有名．

[解答]

直線 $\rm PQ$ の方程式は切片方程式から $tx+\dfrac{y}{t}=1$ となるので， $y=-t^2x+t$ となる．

（ここで， $\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2$ $=a^2-a+\dfrac{1}{4}$ を思い出すと）

$\dfrac{1}{4x}-(-t^2x+t)=\dfrac{t^2}{x}\left(x-\dfrac{1}{2t}\right)^2$ であるから，直線 $\rm PQ$ は $y=\dfrac{1}{4x}$ と $\left(\dfrac{1}{2t},\dfrac{t}{2}\right)$ で接する．

よって $y=\dfrac{1}{4x}$ の接線を接点が $x=\dfrac{1}{2}$ から $x=\dfrac{1}{4}$ まで動かしたときの接線の通過範囲が求める領域となる．その領域のうち， $x\geqq0，y\geqq0$ をみたす範囲が求める範囲である．

（図示略）

通常は， $x$ を固定して $y=-t^2x+t$ の $1\leqq t\leqq 2$ における値域を求めることになるが，そのために右辺を $t$ の2次式として平方完成すると， $x\neq 0$ のとき，
$-t^2x+t=-x\left(t-\dfrac{1}{2x}\right)^2+\dfrac{1}{4x}$
となるが，これは
$\dfrac{1}{4x}-(-t^2x+t)=\dfrac{t^2}{x}\left(x-\dfrac{1}{2t}\right)^2$
と同じ式になっている．

2次関数の最大値が頂点でとることと，包絡線と接することが対応していることになる．これを場合分けして示しても良いが，最近は「最大、最小の候補は端点または極値」がトレンド。

[解答]

直線 $\rm PQ$ の方程式は切片方程式から $tx+\dfrac{y}{t}=1$ となるので， $y=-t^2x+t$ となる．

ここで $x$ を固定したときの $y=-t^2x+t$ の $1\leqq t\leqq 2$ における値域を求めれば良い．

(i) $x=0$ のとき， $y=t$ だから $1\leqq y\leqq 2$ である．

(ii) $x\gt 0$ のとき， $y=-t^2x+t$ の右辺（ $f(t)$ とおく）を $t$ についての2次式とみたときの頂点の $t$ 座標が $\dfrac{1}{2x}$ となるので，値域は
$\min\{f(1),f(2)\}$ $\leqq y$ $\leqq \max\{ f(1),f(2),f\left(\dfrac{1}{2x}\right)\}$
（但し， $f\left(\dfrac{1}{2x}\right)$ となるのは $1\leqq\dfrac{1}{2x}\leqq 2$ のときのみ）
となり，整理して
$\min\{-x+1,-4x+2\}$ $\leqq y$ $\leqq \max\{-x+1,-4x+2,\dfrac{1}{4x}\}$
（但し， $\dfrac{1}{4x}$ が最大値となるのは $\dfrac{1}{4}\leqq x\leqq \dfrac{1}{2}$ のときのみ）
となる．

以上の領域で $y\geqq 0$ となる範囲が求める範囲である．

（図示略）