[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2022.01.12記

[3] 右の図のようにとった直交軸に関し，直線 $y =x$ より上，曲線 $y =x^3$ より下，直線 $x=a$ より左にある平面の部分の面積を求め，それを $a$ の函数と考えてそのグラフをえがけ．

[図]

2022.01.12記

[解答]

求める面積を $S(a)$ とする．

(1) $a\leqq -1$ のとき：
そのような部分は空集合となり $S(a)=0$

(2) $-1\leqq a\leqq 0$ のとき：
$S(a)=\displaystyle\int_{-1}^a (x^3-x)dx =\dfrac{a^4-2a^2+1}{4}$

(3) $0\leqq a\leqq 1$ のとき：
$S(a)=\displaystyle\int_{-1}^0 (x^3-x)dx =\dfrac{1}{4}$

(4) $1\leqq a$ のとき：
$S(a)=\dfrac{1}{4}+\displaystyle\int_{1}^a (x^3-x)dx =\dfrac{a^4-2a^2+2}{4}$

を図示すれば良い．