1963年(昭和38年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.19記

[5] 一辺の長さ $a$ の正方形 $\rm ABCD$ の内部の動点 $\rm P$ で直交する折線 $\rm TPU$ がある（図参照）． $\rm PT$ は辺 $\rm AD$ と $\rm Q$ で交わり， $\angle\rm AQT$ は $45^{\circ}$ にたもたれている．正方形 $\rm ABCD$ の面積を二等分しつつ折線 $\rm TPU$ がうごくとき，線分 $\rm PQ$ の通過する部分の面積を求めよ．

[zu]

2022.02.19記

[解答]
半直線 $\rm PU$ と正方形の交点を $\rm R$ とする．
$\rm R$ が辺 $\rm AB$ （ $\rm B$ は除く）上にあるとき，四辺形 $\rm AQPR$ は三角形 $\rm ADB$ に含まれるので，折れ線は正方形の面積を2等分しない．

よって $\rm R$ は辺 $\rm BC$ 上にある．

${\rm C}(0,0)$ ， ${\rm B}(a,0)$ ， ${\rm A}(a,a)$ ， ${\rm D}(0,a)$ ， ${\rm P}(x,y)$ とおくと，
${\rm Q}(a+x-y,a)$ ， ${\rm R}(x+y,0)$ ，であるから，
五辺形 ${\rm QDCRP}$ の面積は， $\rm P$ を通る縦線によって長方形と2つの直角2等辺三角形に分割することにより
$ax+\dfrac{y^2+(a-y)^2}{2}$
となるので，これが正方形の面積の半分となる条件は
$ax+\dfrac{y^2+(a-y)^2}{2}=\dfrac{a^2}{2}$ ，
つまり，点 $\rm P$ の軌跡は
$x=-\dfrac{1}{a}y(y-a)$
となる．この放物線の原点における接線が対角線 $\rm AC$ となることに注意すると，線分 $\rm PQ$ の通過する部分は，放物線と、 $\rm AD$ ， $\rm AC$ で囲まれる部分となり，その面積は
$\dfrac{a^2}{2}-\dfrac{1}{6a}\cdot a^3=\dfrac{a^2}{3}$
となる．

河合塾72年は五辺形 ${\rm QDCRP}$ の面積を2つの台形に分割しているが、これは少々筋が悪い。