1979年(昭和54年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.19記

[1] $xy$ 平面上の4点 $\mbox{A}(0,0)$ ， $\mbox{B}(1,0)$ ， $\mbox{C}(1,1)$ ， $\mbox{D}(0,1)$ を頂点とする正方形を $\mbox{Q}$ とする．実数 $t$ に対して一次変換
$U_t=\begin{pmatrix} 1+t & t+t^2 \\ 0 & 1+t \end{pmatrix}$ ，
$V_t=\begin{pmatrix} 1+t & 0 \\ t+t^2 & 1+t \end{pmatrix}$ ，
を考え， $\mbox{Q}$ が $U_t$ によって写された図形と， $\mbox{Q}$ が $V_t$ によって写された図形との共通部分の面積を $S(t)$ とする． $t$ が $t\geqq 0$ の範囲を動くとき， $t$ の関数 $S(t)$ のグラフの概形を描き， $S(t)$ のこの範囲での最大値を求めよ．

[2] 図のように，半径 $1$ の球が，ある円錐の内部にはめこまれる形で接しているとする．球と円錐面が接する点の全体は円をなすが，その円を含む平面を $\alpha$ とする．円錐の頂点を $\mbox{P}$ とし， $\alpha$ に関して $\mbox{P}$ と同じ側にある球の部分を $\mbox{K}$ とする．また， $\alpha$ に関して $\mbox{P}$ と同じ側にある球面の部分および円錐面の部分で囲まれる立体を $\mbox{D}$ とする．

いま， $\mbox{D}$ の体積が球の体積の半分に等しいという．そのときの $\mbox{K}$ の体積を求めよ．

[3] 平面上の点 $\mbox{O}$ を中心とする半径 $1$ の円周上に点 $\mbox{P}$ をとり，円の内部または周上に $2$ 点 $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ を， $\triangle\mbox{PQR}$ が $1$ 辺の長さ $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ の正三角形になるようにとる．このとき， $\mbox{OQ}^2+\mbox{OR}^2$ の最大値および最小値を求めよ．

[4] $a$ を正の整数とし，数列 $\{u_n\}$ を次のように定める．
$u_1=2$ ， $u_2=a^2+2$ ，
$u_n=au_{n-2}-u_{n-1}$ ， $n=3$ ， $4$ ， $5$ ，…
このとき，数列 $\{u_n\}$ の項に $4$ の倍数が現れないために， $a$ のみたすべき必要十分条件を求めよ．

[5] $t$ を正の数とし，次の条件(A)，(B) によって定まる $x$ の3次式を $f(x)$ とする．

(A) 曲線 $y=f(x)$ …(1) は直線 $y=x$ …(2) の上の $2$ 点 $\mbox{P}(-t,-t)$ ， $\mbox{O}(0,0)$ を通る．

(B) $f'(0)=0$ ， $f''(0)=2$

さて，曲線(1)と直線(2)との交点のうちで， $x$ 座標が最大のものを $\mbox{Q}$ とし，曲線(1)の点 $\mbox{O}$ から点 $\mbox{Q}$ までの部分と，線分 $\mbox{OQ}$ とで囲まれた領域の面積を $S(t)$ とする．このとき， $\displaystyle\lim_{t\to\infty}S(t)$ を求めよ．