1956年(昭和31年)東京大学-数学(一般数学)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.11記

[2] 甲が乙から $A$ 円を月利 $r$ で借り，かつ同時に丙に月利 $s$ で $B$ 円を貸したとする．一月ごとの複利法によって， $n$ 箇月後に甲が乙に支払うべき元利合計を $P_n$ 円，甲が丙から受け取るべき元利合計を $Q_n$ 円とし，また $Q_n−P_n =D_n$ とする．このとき $n$ には無関係で $r，s$ のみによって定まる定数 $a，b$ を適当に選べば
$D_{n+2} =aD_{n+1}+bDn$ ， $n=1，2，3，…$
が成り立つことを示し，かつ $a，b$ を求めよ．ただし $r \neq s$ とする．

2022.02.11記
隣接3項間漸化式の表現と特性方程式の関係を思い出そう。

[大人の解答]
$P_n=A(1+r)^n$ ， $Q_n=B(1+s)^n$ だから， $D_n=Q_n−P_n$ は公比が $1+r,1+s$ の2つの等比数列の線型結合でかけるので， $D_n$ は隣接3項間漸化式
$D_{n+2}=(2+r+s)D_{n+1}-(1+r)(1+s)D_n$
をみたす．

普通に解くなら，隣接3項間漸化式の解き方の逆をする。

[解答]
$P_n=A(1+r)^n$ ， $Q_n=B(1+s)^n$ である。 $D_n=Q_n−P_n$ について，
$D_{n+1}-(1+r)D_n=(B+Bs-A-Ar)Q_n$
が成立するので，
$\{D_{n+2}-(1+r)D_{n+1}\}-(1+s)\{D_{n+1}-(1+r)D_n\}=0$
つまり，
$D_{n+2}=(2+r+s)D_{n+1}-(1+r)(1+s)D_n$
が成立する．

河合塾72年の解答はちょっとね。