2022.02.26記
[3] 数列 を次のように定める。
,()
,()
(1) を で割った余りを求めよ。
(2) ,, の最大公約数を求めよ。
2022.02.26記
[解答]
で考える。
で考える。
のとき,,
のとき,,
のとき,,
と漸化式の周期が3となることに注意して3項ずつ組にして考えると
,
,
のように周期が2組、つまり6項であることがわかる。
よって,,つまり3で割った余りは である。
(2) ユークリッドの互除法により,
と の最大公約数は と の最大公約数に等しく,
と の最大公約数は と の最大公約数に等しい。
よってまず, と の最大公約数を求めれば良い。 とおくと
であるから,それは と の最大公約数に等しい。
ここで が偶数に注意すると, は整数であり,
であるから,それは と の最大公約数に等しく,それは と の最大公約数である である。
つまり, と の最大公約数はである。
ここで,() であるから, は を素因数にもたないので,求める最大公約数は である。
ユークリッドの互除法を丁寧に使ってみたが,連続する自然数は互いに素なので と は互いに素で,と も互いに素である。よって
となり,と も互いに素だから,この値は
に等しいことが任意の自然数 について成立することがわかる。
つまり, の最大公約数は となり,()のときは最大公約数がとなり,それ以外の場合はとなることがわかる。