1956年(昭和31年)東京大学-数学(一般数学)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.11記

[3] 右の図は $\triangle\rm ABC$ の投影図で，a，b，c および a′，b′，c′ はそれぞれ頂点 $\rm A，B，C$ の平面図および立面図である．

(i) $\triangle \rm ABC$ の平面と平画面とのなす角 $\theta$ を作図せよ．

(ii) aa′ $=p$ ，cc′ $=q$ ，b′c′ $=r$ ，ab $=s$ として $\triangle\rm ABC$ の面積を $p，q，r，s$ で表せ．
注）平画面とは水平投影図のこと

[圖]

2022.02.11記
平面図は $xy$ 平面，立面図は $xz$ 平面への正射影と考えれば良い。

[解答]

(i) 三垂線の定理から，平面図において a から bc に下した垂線の足を h とすると，これは $\rm A$ から $\rm BC$ へ下した垂線の足 $\rm H$ の平面図となる．このとき，ah と $p$ が直角をはさむ直角3角形を作図することにより， $\theta$ を作図することができる。よって

1. a から bc に垂線を下しその足を h とする
2. a 中心半径 ah の円を描き，それと直線 ab の交点の1つを h' とする
3. $\angle$ a'h'a $=\theta$ である．

(ii) $x$ 軸は右向き， $y$ 軸は下向き， $z$ 軸は上向きにとる(左手系)ことにすると，
${\rm A}(s,0,p)$ ， ${\rm B}(0,0,0)$ ， ${\rm C}(r,q,0)$ となる．

このとき $\triangle\rm ABC$ $=\sqrt{p^2q^2+p^2r^2+q^2s^2}$ となる．

(ii) を座標を使わずに解くならば，
$2\triangle{\rm ABC}=\textsf{a'h'}×\textsf{bc}=\sqrt{p^2+\textsf{ah}^2}\times\textsf{bc}$ $=\sqrt{p^2+\left(\dfrac{qs}{\textsf{bc}}\right)^2}\times\textsf{bc}$ $=\sqrt{p^2\textsf{bc}^2+q^2s^2}$ $=\sqrt{p^2(q^2+r^2)+q^2s^2}$
とすれば良い．