2008年(平成20年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2008年(平成20年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

本問のテーマ

原点以外に不動点をもつ線形変換(2021.02.05)

2021.02.05記
$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$ の固有値 $1$ に対応する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ ，固有値 $2$ に対応する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ である．
よって， $l_n$ は $l_0$ と不動直線 $y=-2x$ との交点 $(-1,2)$ を通り，方向ベクトルは固有値の絶対値が大きい方の固有ベクトルに近づいていくので、 $n\to\infty$ で $l_n\to y=-(x+1)+2$ となる（このとき， $l_n$ の傾きは単調増加している）．よって求める領域は $y\gt -2(x+1)+2$ かつ $y\geqq -1(x+1)+2$ となる．

[大人の解答]

(1) $A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$ とすると $f: \vec{\rm OP}\mapsto \vec{{\rm O}f({\rm P})}=A\vec{\rm OP}$ である．

$A$ の固有値 $1$ に対応する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ ，固有値 $2$ に対応する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ であるから $y=-2x$ と $l_0$ の交点 $(-1,2)$ は不動点である．また， $l_0$ の方向ベクトルは $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ $+\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ だから， $l_n$ の方向ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}+2^n\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ となるので
となり，直線 $l_n$ の傾きは $\dfrac{-2-2^n}{1+2^n}=-1-\dfrac{1}{1+2^n}$ となるので，
$l_n$ は $(-1,2)$ を常に通り，傾きは単調増加させながら $y=-(x+1)+2$ に近づいていく．

よって求める領域は $y\gt -2(x+1)+2$ かつ $y\geqq -1(x+1)+2$ となる．

f:id:spherical_harmonics:20220317114649p:plain:w350

なお， $l_n$ は $y=-\dfrac{2^n+2}{2^n+1}(x+1)+2$ だから，
$\Bigl(1+\dfrac{1}{2^{n-1}}\Bigr)x+\Bigl(1+\dfrac{1}{2^{n}}\Bigr)y=1$
となり， $a_n=1+\dfrac{1}{2^{n-1}}，b_n=1+\dfrac{1}{2^{n}}$ である．

注) $l_{\infty}：y\geqq -1(x+1)+2$ に近づいていくが一致しないので、 $y\geqq -1(x+1)+2$ と等号の場合も含まれることに注意

2022.03.17記

[解答]

(1) $X=3x+y$ ， $Y=-2x$ とおくと， $f$ によって直線 $a_nx+b_ny=1$ が $a_{n+1}X+b_{n+1}Y=1$ にうつるので，
$a_{n+1}(3x+y)+b_{n+1}(-2x)$ $(3a_{n+1}-2b_{n+1})x+a_{n+1}y=1$
が成立する．よって
$a_n=3a_{n+1}-2b_{n+1}$ ， $b_n=a_{n+1}$
となり，
$a_{n+1}=b_n$ ， $b_{n+1}=\dfrac{-a_n+3b_n}{2}$
が成り立つ．

(2) (1)から $a_{n+1}=b_n$ ， $b_{n+2}=\dfrac{-a_{n+1}+3b_{n+1}}{2}$
となるので，
$b_{n+2}=\dfrac{3b_{n+1}-b_n}{2}$
という3項間漸化式が得られ， $b_0=2$ から
$b_n=1+\dfrac{1}{2^n}$ となり， $a_n=1+\dfrac{1}{2^{n-1}}$ となる．

よって
$l_n:\left(1+\dfrac{1}{2^{n-1}}\right) x+\left(1+\dfrac{1}{2^{n}}\right) y=1$
となり，
$y=-\left(1+\dfrac{1}{2^n+1}\right)(x+1)+2$
と変形できるので， $(-1,2)$ を通り傾きが単調に増加していく直線となる．

傾きは $n\to\infty$ で $-1$ に近づくので（等号は成立しない），求める領域は
$y\gt -2(x+1)+2$ かつ $y\geqq -1(x+1)+2$
となる．