1956年(昭和31年)東京大学-数学(一般数学)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] 一定量の $a\%$ のアルコールがある．今第1回目にはその半分を汲みすてて $x\%$ のアルコールでおぎない，第1回目にはこのようにして得られたアルコールの半分を汲みすてて $y\%$ のアルコールでおぎなう．
このように半分を汲みすてて $x\%$ のアルコールでおぎなうことと， $y\%$ のアルコールでおぎなうことを交互に続けるとする．

(i)このような操作を $n$ 回行ったときには何 $\%$ のアルコールとなるか．

(ii)この操作を限りなく続けるとき，偶数回目と奇数回目のアルコールの濃さはそれぞれどのようになるか．

2019.02.26記

[解答]
求める濃度を $a_n\%$ とすると、 $a_{2k+1}=\dfrac{a_{2k}+x}{2}$ , $a_{2k}=\dfrac{a_{2k-1}+y}{2}$ が成立する。
よって $a_{2k+2}=\dfrac{a_{2k}+x+2y}{4}$ 、 $a_{2k+1}=\dfrac{a_{2k-1}+2x+y}{4}$ となる。 $a_0=a,a_1=\dfrac{a+x}{2}$ を利用して解くと、
$a_{2k}=\dfrac{1}{2^{2k}}\left( a+\dfrac{1}{3}(2^{2k}-1)x+\dfrac{2}{3}(2^{2k}-1)y \right)$ 、 $a_{2k-1}=\dfrac{1}{2^{2k-1}}\left( a+\dfrac{1}{3}(2^{2k}-1)x+\dfrac{2}{3}(2^{2k-2}-1)y \right)$
となる。極限をとると偶数回目は $\dfrac{x+2y}{3}\%$ に、奇数回目は $\dfrac{2x+y}{3}\%$ に近づく。