1956年(昭和31年)東京大学-数学(解析Ｉ)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.10記

[3] 放物線 $y^2 =4p(x−\alpha)$ と円 $x^2+y^2 =1$ との共有点の個数は $\alpha$ の変化に応じてどのように変わるか．ただし $0\lt p \lt\dfrac{1}{2}$ とする．

2022.02.10記
文系の範囲で解くこともできるが，その場合， $x$ と交点の個数が1対1に対応しないのでちょっと面倒。
単位円なので素直にパラメータ表示すると解と交点の個数が1対1に対応する。 $\alpha$ が1箇所単独で登場しているので、定数分離をするのが吉。

[解答]
円上の点を $x=\cos\theta$ ， $y=\sin\theta$ （ $0\leqq \theta\lt 2\pi$ ）とおくと
$\sin^2\theta=4p(\cos\theta-\alpha)$ ，
つまり
$\alpha=\cos\theta-\dfrac{\sin^2\theta}{4p}=:f(\theta)$
をみたす $\theta$ の個数を考えれば良い．
$f'(\theta)=-\sin\theta-\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{2p}=\dfrac{-\sin\theta (2p+\cos\theta)}{2p}$
であり， $0\lt p\lt\dfrac{1}{2}$ であるから， $\cos\theta=-2p$ なる $\theta$ が第2象限と第3象限に1つずつ存在する。それを $\phi，2\pi-\phi$ （ $\dfrac{\pi}{2}\lt\phi\lt\pi$ ）とおくと，増減表は

$\theta$	$0$	$\cdots$	$\phi$	$\cdots$	$\pi$	$\cdots$	$2\pi-\phi$	$\cdots$	$(2\pi)$
$f'$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$(0)$
$f'$	$1$	$\searrow$	$-p-\dfrac{1}{4p}$	$\nearrow$	$-1$	$\searrow$	$-p-\dfrac{1}{4p}$	$\nearrow$	$(1)$

となるので，

$\alpha\lt -p-\dfrac{1}{4p}$ のとき $0$ 個
$\alpha=-p-\dfrac{1}{4p}$ のとき $2$ 個
$-p-\dfrac{1}{4p}\lt \alpha\lt -1$ のとき $4$ 個
$\alpha= -1$ のとき $3$ 個
$-1\lt \alpha\lt 1$ のとき $2$ 個
$\alpha= 1$ のとき $1$ 個
$-\lt \alpha$ のとき $0$ 個