1988年(昭和63年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[1] 直線 $l$ 上に $10$ メートル離れた2定点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ があり， $l$ に平行な直線 $m$ 上を点 $\mbox{P}$ が秒速1メートルで一定の向きに動いている． $\mbox{A}$ ， $\mbox{P}$ 間の距離と $\mbox{B}$ ， $\mbox{P}$ 間の距離の和は，ある時刻に測ったとき $15$ メートル，その $5$ 秒後に測ったときも $15$ メートルであった．2直線 $l$ ， $m$ のあいだの距離は何メートルか．

[2] $xy$ 平面上の一次変換 $f$ が次の $3$ 条件をみたすとする．

(i) 点 $(1,0)$ は $f$ により第4象限の内部にうつる．

(ii) 点 $(0,1)$ は $f$ により第2象限の内部にうつる．

(iii) 点 $(1,1)$ は $f$ により第1象限の内部にうつる．

このとき $f$ には逆変換が存在することを示せ．また，点 $\mbox{P}$ の像 $f(\mbox{P)}$ が第1象限の内部にあれば，点 $\mbox{P}$ も第1象限の内部にあることを示せ．

[3] $xyz$ 空間において次の $6$ 個の不等式で表される立体の体積を求めよ．

$x\geqq0$ ， $y\geqq0$ ， $z\geqq0$ ， $x+y+z\leqq3$ ， $x+2z\leqq4$ ， $y-z\leqq1$

[4] $f(x)=x^3-x^2$ とする．曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mbox{A}(1,0)$ における接線が再びこの曲線と交わる点を $\mbox{B}$ とする．曲線 $y=ax^2+bx+c$ と曲線 $y=f(x)$ が点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を共有し，さらに $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ のあいだにもうひとつの共有点をもつとき，
この $2$ 曲線のかこむ部分の面積を求めよ．また，その面積が最小となるように $a$ ， $b$ ， $c$ を定めよ．