2020.10.17記
問題文の意味をゆっくりと溶き解して考える.問題文の意味を良く考えて「平均パターン数」に着目すれば計算する必要がほとんどない(平均パターンに着目した解法はまだ見てないが).
基本は が1増えるとパターンが1つ増え,基本は が1増えるとパターンが1つ減るということで,このことから,パターンの個数は についての1次式となり,真ん中が平均という考え方が活きてくるという訳だ.
平面で考えると, という条件は,軸を含む第4象限における の長方形の周または内部の領域を表し,この長方形の格子点について考えていることになる.
は 平面で直線 を表す.
(1) 直線 をみたす長方形上の格子点は のみであり, をみたす は 通りだから をみたす パターンの数は 個である.
また,直線 をみたす長方形上の格子点は のみであり, をみたす は 通りだから をみたす パターンの数は 個である.
(2) 軸を含む第4象限における の正方形の周または内部の格子点について考えることになる.
ここで,正方形内の格子点について,右に動くとパターンの数が1個増え,下に動くと1個増えるので,直線 と正方形の内部の格子点のパターン数は,右下の格子点に移動する毎に2増える等差数列となる.よってパターン数の平均は
(a) 中点が格子点の場合, 型の格子点のパターン数 個
(b) 中点が格子点でない場合, 型と 型と
の格子点のパターン数 個と個の平均の 個
となり常に 個である.つまり,直線上にある正方形の周または内部の格子点の数の 倍がパターンの個数となる.
(i) のとき,直線と正方形は交わらないので0個
(ii) のとき,直線上にある正方形の周または内部の格子点は 個あるので,個
(文系はここまで)
(iii) のとき,直線上にある正方形の周または内部の格子点は 個あるので,個
(vi) のとき,直線と正方形は交わらないので0個
となる.
(3) 正方形内の格子点の数は 個あり,(2) から正方形内の格子点の平均のパターン数は 個だから 個
ちょっと大胆に解きすぎたかな?