[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2004年(平成16年)東京大学前期-数学(理科)[4]

2024.02.18記

[4] 関数 $f_n(x)$ （ $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，…）を次のように定める．
$f_1(x)=x^3-3x$ ，
$f_2(x)=\{ f_1(x) \}^3-3f_1(x)$ ，
$f_3(x)=\{ f_2(x) \}^3-3f_2(x)$ ，
以下同様に， $n \geqq 3$ に対して関数 $f_n(x)$ が定まったならば，関数 $f_{n+1}(x)$ を $f_{n+1}(x)=\{ f_n(x) \}^3-3f_n(x)$ で定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $a$ を実数とする． $f_1(x)=a$ をみたす実数 $x$ の個数を求めよ．

(2) $a$ を実数とする． $f_2(x)=a$ をみたす実数 $x$ の個数を求めよ．

(3) $n$ を $3$ 以上の自然数とする． $f_n(x)=0$ をみたす実数 $x$ の個数は $3^n$ であることを示せ．

本問のテーマ

チェビシェフ多項式

2020.09.25記
$x^3-3x$ を見たら基本 $x=2\cos\theta$ とおくわな．

[解答]
$x\gt 2$ なら $f_1(x)\gt 2$ で単調増加より帰納的に $f_n(x)\gt 2$ で単調増加

$|x|\leqq 2$ なら $x=2\cos\theta$ とおくと $f_1(x)=2\cos 3\theta$ から帰納的に $f_n(x)=\cos 3^n\theta$ となり $|f_n(x)|\leqq 2$

特に $x=2$ なら $f_1(2)=2$ より帰納的に $f_n(2)=2$ ， $x=-2$ なら $f_1(-2)=-2$ より帰納的に $f_n(-2)=-2$ である．

よって $f_n(x)=a$ をみたす実数 $x$ の個数は
$|a|\gt 2$ のときは $1$ 個
$|a|=2$ のときは $\dfrac{3^n+1}{2}$ 個（ $a\lt 2$ の場合の片端を除いて2つずつ交点が重なる）
$|a|\lt 2$ のときは $3^n$ 個

となる．

(1) $|a|\gt 2$ のときは $1$ 個， $|a|=2$ のときは $2$ 個， $|a|\lt 2$ のときは $3$ 個

(2) $|a|\gt 2$ のときは $1$ 個， $|a|=2$ のときは $5$ 個， $|a|\lt 2$ のときは $9$ 個

(3) $|a|\lt 2$ だから $3^n$ 個