1981年(昭和55年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.22記

[4] 実数 $\alpha$ $\displaystyle \left( \mbox{ただし} 0 \leqq \alpha \lt \dfrac{\pi}{2} \right)$ と，空間の点 $\mbox{A}(1,1,0)$ ， $\mbox{B}(1,-1,0)$ ， $\mbox{C}(0,0,0)$ を与えて，つぎの4条件をみたす点 $\mbox{P}(x,y,z)$ を考える．

(イ) $z>0$

(ロ) $2$ 点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{A}$ を通る直線と， $\mbox{A}$ を通り $z$ 軸と平行な直線のつくる角は $\dfrac{\pi}{4}$

(ハ) $2$ 点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{B}$ を通る直線と， $\mbox{B}$ を通り $z$ 軸と平行な直線のつくる角は $\dfrac{\pi}{4}$

(ニ) $2$ 点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{C}$ を通る直線と， $\mbox{C}$ を通り $z$ 軸と平行な直線のつくる角は $\alpha$

このような点 $\mbox{P}$ の個数を求めよ．また， $\mbox{P}$ が1個以上存在するとき，それぞれの場合について， $z$ の値を， $\alpha$ を用いて表せ．

2020.11.25記
円錐の方程式．

[解答]
(ロ) は頂点が $\rm A$ の円錐面，(ハ) は頂点が $\rm B$ の円錐面で $xz$ 平面について対称だから，その交線は $xz$ 平面上の双曲線 $(x-1)^2-z^2=-1$ （漸近線は $z=\pm(x-1)$ ）上にある．これと(ニ)の円錐面の $xz$ 平面による切り口である2直線 $x=\pm (\tan\alpha)z$ との $z\gt 0$ における交点の個数を求めれば良い．つまり

$z^2=(x-1)^2+1$ と $(\tan\alpha)z=x$ の交点数と
$z^2=(x-1)^2+1$ と $-(\tan\alpha)z=x$ の交点数を考えれば良い．

双曲線の漸近線の傾き $\tan\alpha=1$ と $(\tan\alpha)z=x$ が双曲線に接する $\tan\alpha=\sqrt{2}$ で（代入した2次方程式が1次方程式になる場合と根号内が0になる場合とで）場合分けして

・ $\tan\alpha=0$ のとき、 $z=\sqrt{2}$ の1個
・ $0\lt \tan\alpha\lt 1$ のとき、 $z=\dfrac{-\tan\alpha-\sqrt{2-\tan^2\alpha}}{\tan^2\alpha-1}$ の2個
・ $\tan\alpha=1$ のとき、 $z=1$ の1個
・ $1\lt \tan\alpha=\sqrt{2}$ のとき、 $z=\dfrac{\tan\alpha\pm\sqrt{2-\tan^2\alpha}}{\tan^2\alpha-1}$ の2個
・ $\tan\alpha=\sqrt{2}$ のとき、 $z=\sqrt{2}$ の1個
・ $\tan\alpha\gt \sqrt{2}$ のとき、0個

となる．

円錐の方程式を真面目に考えると次のようになる．

頂点 $\rm A$ ，軸の方向ベクトルが単位ベクトル $\vec{n}$ ，軸とのなす角が $\theta$ である円錐面上の点 $\rm P$ は $|\vec{\rm AP}\cdot\vec{n}|=|\vec{\rm AP}| \, |\cos\theta|$ となる(2つの円錐のうち一方を選ぶときは絶対値が外れる)．