[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1956年(昭和31年)東京大学-数学(解析ＩＩ)[1]

2022.02.10記

[1] 次の関数の最大値および最小値を求めよ．またそのときの \theta の値はいかほどか。
(2 \cos 2\theta+2 \cos\theta+3)(2 \cos\theta+3)−\sin^2 2\theta
ただし，0\lt \theta\lt\pi とする．

2022.02.10記
普通に微分したとしても綺麗にはならないので、\cos\theta の多項式となることは見ぬきたい。

[解答]

\cos\theta = t とおくと
(2 \cos 2\theta+2 \cos\theta+3)(2 \cos\theta+3)−\sin^2 2\theta=\{2 (2t^2-1)+2t+3\}(2t+3)−4t^2(1-t^2)=(4t^2+2t+1)(2t+3)−4(t^2-t^4)=:f(t)
となる．このとき
f'(t)=(8t+2)(2t+3)+(4t^2+2t+1)\cdot 2-4(2t-4t^3)=16t^3+24t^2+24t+8=8(2t+1)(t^2+t+1)
であるから増減表を書くことにより，t=\cos\theta=-\dfrac{1}{2} のとき，すなわち 0\leqq \theta\leqq\pi より\theta=\dfrac{2}{3}\piのとき最小値\dfrac{5}{4} をとる。