1957年(昭和32年)東京大学-数学(幾何)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.13記

[3] 円 $x^2+y^2 =1$ と定点 $(a，b)$ がある．この円周上の動点 $\rm Q$ における接線上に点 $\rm P$ をとり， $\rm AP=2PQ$ ならしめるとき，点 $\rm P$ の軌跡はいかなる図形であるか．また，とくに $a=3，b=−2$ の場合を図示せよ．

2022.02.18記

[解答]
$\vec{\rm OX}=\vec{x}$ のように書くことにする．

$\vec{\rm AP}\cdot\vec{\rm AP}=4\vec{\rm PQ}\cdot\vec{\rm PQ}$ であるから，
$\vec{p}\cdot\vec{p}-2\vec{a}\cdot\vec{p}+\vec{a}\cdot\vec{a}=4\vec{q}\cdot\vec{q}-8\vec{p}\cdot\vec{q}+4\vec{p}\cdot\vec{p}$
が成立する．ここで $\vec{p}\cdot\vec{p}=\vec{q}\cdot\vec{q}=1$ により，
$3\vec{p}\cdot\vec{p}+2\vec{a}\cdot\vec{p}=\vec{a}\cdot\vec{a}+4$
つまり
$\left|\vec{p}+\dfrac{1}{3}\vec{a}\right|^2=\dfrac{4}{9}\vec{a}\cdot\vec{a}+\dfrac{4}{3}$
となるので，点 $\rm P$ の軌跡は
中心 $\left(-\dfrac{a}{3},-\dfrac{b}{3}\right)$ ，半径 $\dfrac{2\sqrt{a^2+b^2+3}}{3}$ の円

$a=3，b=−2$ の場合を図示は略
（中心 $\left(-1,\dfrac{2}{3}\right)$ ，半径 $\dfrac{8}{3}$ の円）