1985年(昭和60年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.26記

[1] $a$ ， $b$ は $a^2+b^2\neq 0$ なる実数とし， $A=\dfrac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix} a^2 & ab \\ ab & b^2 \end{pmatrix}$ ， $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とおく．行列 $A^3$ ， $(I-A)^2$ の表す一次変換による点 $\mbox{P}(x,y)$ の像を，それぞれ $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ とする．ただし， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ はいずれも $\mbox{P}$ と一致しないものとする．

(1) $\angle\mbox{QPR}$ の大きさを求めよ．

(2) $\triangle\mbox{PQR}$ の面積を $a$ ， $b$ ， $x$ ， $y$ を用いて表せ．

[2] 図において， $\mbox{AB}\mbox{CD}$ は一辺の長さ $1$ km の正方形で， $\mbox{M}$ ， $\mbox{N}$ はそれぞれ辺 $\mbox{CD}$ ， $\mbox{DA}$ の中点である．

いま，甲，乙は同時刻にそれぞれ $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を出発し，同じ一定の速さで歩くものとする．甲は図の実線で示した道 $\mbox{AMB}$ 上を進み，乙は実線で示した道 $\mbox{BNC}$ 上を進み，
30分後に甲は $\mbox{B}$ に，乙は $\mbox{C}$ に到着した．

甲，乙が最も近づいたのは出発後何分後か．また，そのときの両者の間の距離はいくらか．

[3] $n$ を $2$ 以上の整数とする．
$x^n+ax+b$ （ $a$ ， $b$ は実数の定数）の形の多項式 $f(x)$ で
$\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\,dx=0, \quad \displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx=0$
を満たすものを求めよ．
この $f(x)$ に対して $F(x)=\displaystyle\int_{-1}^{x} f(t)\,dt$ ， $G(x)=\displaystyle\int_{-1}^{x} F(t)\,dt$ とおく． $G(x)$ が極大または極小となる点 $x$ と，その点における $G(x)$ の値を求めよ．

[4] $t$ を正の数とする． $xyz$ 空間において，点 $(t,t,0)$ を $\mbox{P}$ とし， $x$ 軸を含み点 $(t,t,1)$ を通る平面に関して $\mbox{P}$ と対称な点を $\mbox{Q}$ ， $y$ 軸を含み点 $(t,t,1)$ を通る平面に関して $\mbox{P}$ と対称な点を $\mbox{R}$ とする．また，原点を $\mbox{O}$ とする．