[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1960年(昭和35年)東京大学-数学

2020.10.13記

【数学Ｉ代数】

[1] 三角形 $\rm ABC$ の辺 $\rm AB$ 上に点 $\rm P$ をとり， $\rm BP$ の中点を $\rm Q$ とする．つぎに， $\rm P$ ， $\rm Q$ から $\rm BC$ に平行線をひいて $\rm AC$ との交点をそれぞれ $\rm R，S$ とする．台形 $\rm PQSR$ の面積が最大となるときの $\rm AP$ の長さと台形 $\rm PQSR$ の面積を求めよ．ただし辺 $\rm AB$ の長さを $a$ ，三角形 $\rm ABC$ の面積を $s$ とする．

[2] ある家で今年の一月と二月の水道の使用水量と水道料金とは右の表の通りであった．

	使用水量	水道料金
一月	$23\mbox{m}^3$	332 円
二月	$19\mbox{m}^3$	276 円

その町の家庭用水道料金は
$水道料金= 基本料金+ 超過料金+ メーター使用料$
という式で計算される．基本料金とは一定の使用水量 $A\mbox{m}^3$ （ $A$ は整数）までに対して支払う料金120 円のことであり，までに対して支払う料金120 円のことであり，超過料金とは $A\mbox{m}^3$ をこえた分に対し支払う料金のことで $1\mbox{m}^3$ ごとに $B$ 円と定められている．またメーター使用料 $C$ 円は使用水量に関係せず，10 円の整数倍で50 円以下である．このとき，上の表から $A，B，C$ を求めよ．

【数学Ｉ幾何】

[1] 三角形 $\rm ABC$ の外心を $\rm O$ とし，三辺 $\rm BC$ ， $\rm CA$ ， $\rm AB$ に関して $\rm O$ と対称な三点をそれぞれ $\rm A′，B′，C′$ とする
とき，三角形 $\rm A′B′C′$ は三角形 $\rm ABC$ に合同であることを証明せよ．

[2] 弓形の弦の長さを $2a$ ，弧の長さを $2b$ ，弦の中点と弧の中点との距離を $h$ とするとき，弓形の面積は
$\dfrac{a^2}{2h}(b-a)+\dfrac{h}{2}(b+a)$
で表わされることを証明せよ．

【数学ＩＩ】

[1] 放物線 $C$ が下の条件 (i)，(ii)を満たしながら動くとき， $C$ の頂点のえがく図形を求めよ．

(i) $C$ は放物線 $y =x^2$ を平行移動して得られる．

(ii) $C$ は放物線 $y =1−x^2$ に接する．

[2] 一辺100m の正方形の広場の一つの角（かど）に直立する高さ60m の棒があり，地上10m の所から上だけ赤く塗ってある．この広場の一点から棒の赤い部分を見込む角を $\alpha$ とするとき， $\alpha\gt 45^{\circ}$ であるような広場の部分の面積を求めよ．

【数学ＩＩＩ】

[1] 放物線 $y =x^2+\dfrac{1}{4}$ の頂点と異なる一点における接線と法線（接点を通り，接線に垂直な直線）が $x$ 軸と交わる点をそれぞれ $\rm P，Q$ とするとき，線分 $\rm PQ$ の長さの最小値を求めよ．

[2] 水平におかれた机に，直角をはさむ二辺の長さがそれぞれ9 cm，12 cm であるような直角三角形の穴をあけ，この穴に半径5 cm の球をのせるとき，この球の机の表面より上にある部分の体積を求めよ．

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