1960年(昭和35年)東京大学-数学(数学Ｉ幾何)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.13記

[2] 弓形の弦の長さを $2a$ ，弧の長さを $2b$ ，弦の中点と弧の中点との距離を $h$ とするとき，弓形の面積は
$\dfrac{a^2}{2h}(b-a)+\dfrac{h}{2}(b+a)$
で表わされることを証明せよ．

2020.10.13記
Al-Khuwārizmī による弓形の面積って書くとやりすぎか。

Al-Khuwārizmī は algebra の語源となった書物（であり著者の名前）

作者:R, RASHED
メディア: ハードカバー

の p.449 に

Al-Khuwārizmī introduced the exact rule for the area $\sigma$ of a circle's segment with base $l$ , height $h$ and arc $s$ :
$\sigma=\dfrac{d}{2}\dfrac{s}{2}-\Bigl(\dfrac{d}{2}-h\Bigr)\dfrac{l}{2}$

(なお， $d$ は円の直径でそれより前に定義されている)

とある．８世紀末から9世紀前半に書かれたとされる．

本問では $s=2b$ ， $l=2a$ であり、円の半径を $r=\dfrac{d}{2}$ とおくと
$\sigma=rb-(r-h)a$
を証明すれば良いことになる．ピタゴラスの定理から
$a^2+|r-h|^2=r^2$
となり， $r=\dfrac{a^2+h^2}{2h}$ となるので、これを代入すれば $\dfrac{a^2}{2h}(b-a)+\dfrac{h}{2}(b+a)$ が得られる．

なお，与えられた弧が劣弧の場合と優弧の場合とで場合分けするのを忘れないように．

Al-Khuwārizmī では、負の数が登場しないように
劣弧の場合は $\sigma=\dfrac{d}{2}\dfrac{s}{2}-\Bigl(\dfrac{d}{2}-h\Bigr)\dfrac{l}{2}$ ，
優弧の場合は $\sigma=\dfrac{d}{2}\dfrac{s}{2}+\Bigl(h-\dfrac{d}{2}\Bigr)\dfrac{l}{2}$
で場合分けしているらしい（未確認）．

弦の両端を $\rm A，B$ とし，弧 $\rm AB$ の中心を $\rm O$ とする．

円の半径を $r$ とおくと三平方の定理から $a^2+|r-h|^2=r^2$ である．

$\triangle {\rm OAB} = |r-h|a$ であり、 $扇形{\rm OAB} = rb$ であるから、求める弓形の面積は

弧 $\rm AB$ が劣弧（ $h\leqq r$ ）の場合、 $扇形\rm OAB - \triangle \rm OAB$ であり、
弧 $\rm AB$ が優弧（ $h\geqq r$ ）の場合、 $扇形\rm OAB + \triangle \rm OAB$ であるから、いずれの場合も弓形の面積は
$rb-(r-h)a=\cdots =\dfrac{a^2}{2h}(b-a)+\dfrac{h}{2}(b+a)$
となる．