2022年(令和4年)京都大学-数学(理系)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.27記

[6] 数列 $\{x_n\}$ ， $\{y_n\}$ を次の式

$x_1=0$ ， $x_{n+1}=x_n+n+2\cos\left(\dfrac{2\pi x_n}{3}\right)$ （ $n=1,2,3,\cdots$ ）]，
$y_{3m+1}=3m$ ， $y_{3m+2}=3m+2$ ， $y_{3m+3}=3m+4$ （ $m=0,2,3,\cdots$ ）]
により定める．このとき，数列 $\{x_n-y_n\}$ の一般項を求めよ．

2022.02.27記
$\cos\left(\dfrac{2\pi x_n}{3}\right)$ の中にある $x_n$ が邪魔なので，とりあえず $\mbox{mod}\,3$ を意識して数列を順番に求めていこう．
わざわざ $x_n-y_n$ を計算させるのは， $y_n$ によって $\cos\left(\dfrac{2\pi x_n}{3}\right)$ のずれを吸収させるのではないかと考えていこう．

[解答]

$x_n$ を $3$ で割った余りを $r_n$ とおき，3項ずつ組にすると，
$r_1=0$ ， $r_2=0$ ， $r_3=1$ ，
$r_4=0$ ， $r_5=0$ ， $r_6=1$
となるので， $x_n$ を $3$ で割った余りは周期3で $0,0,1$ を繰り返す。

よって
$x_{3m+2}=x_{3m+1}+3m+1+2$ ，
$x_{3m+3}=x_{3m+2}+3m+2+2$
$x_{3m+4}=x_{3m+3}+3m+3-1$
が成立する．ここで $z_n=x_n-y_n$ によって数列 $\{z_n\}$ を定義すると，
$y_{3m+2}=y_{3m+1}+2$ ，
$y_{3m+3}=y_{3m+2}+2$
$y_{3m+4}=y_{3m+3}-1$
であるから，
$z_{3m+2}=z_{3m+1}+3m+1$ ，
$z_{3m+3}=z_{3m+2}+3m+2$
$z_{3m+4}=z_{3m+3}+3m+3$
が成立する．よって任意の自然数 $n$ に対して
$z_{n+1}=z_n+n$
が成立する． $z_1=0$ であるから，
$z_n=z_0+1+\cdots +(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}$
である．