1968年(昭和43年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[1] 1辺の長さが1の正方形 $\rm ABCD$ の内部に点 $\rm P$ をとって， $\angle\rm APB$ ， $\angle\rm BPC$ ， $\angle\rm CPD$ ， $\angle\rm DPA$ がいずれも $\dfrac{3}{4}\pi$ をこえないようにするとき，点 $\rm P$ のうごきうる範囲の面積を求めよ．ただし， $\rm C$ は $\rm A$ ととなりあわない頂点とする．

[2] 正方形 $\rm ABCD$ を底面とし， $V$ を頂点とする正四角錐（すい）において，底面と斜面のなす二面角が $45^{\circ}$ のとき，となりあう2 つの斜面のなす二面角を求めよ．

[3] $\alpha，\beta$ は与えられた実数とする． $x$ の2 次式
$f(x)=ax^2+bx+c$
の係数 $a，b，c$ が $a+b+c=0$ なる関係式を満たしながら動くとき，座標 $(f(\alpha)，f(\beta))$ をもつ点の全体は，平面上のどんな集合になるか．

[4] 次の条件を満たす3 次の多項式 $f(x)$ を求めよ．

(i) 多項式 $g(x)$ の次数が2 をこえないならば，つねに $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)g(x)dx=0$

(ii) $\displaystyle \int_{-1}^1 \{f(x)\}^2dx=1$

(iii) $f(1)\gt 0$

[5] 平面上の点 $(a，b)$ の，直線 $2x-y=p$ に関する対称点をとり，次にこれを原点を中心として正の向きに $90^{\circ}$ 回転し，さらに直線 $x+2y=q$ に関する対称点をとると，はじめの点 $(a，b)$ に一致する．このとき， $p，q$ を用いて $a，b$ を表わせ．

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