[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1983年(昭和58年)東京大学-数学(文科)

2023.08.23記

[1] 行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ が表す $xy$ 平面の1次変換 $f$ が，次の条件(1)，(2)をみたすとする．

(1) $f$ は，任意の三角形をそれと相似な三角形にうつす．

(2) $f$ は，点 $(1,\sqrt{3})$ を点 $(-2,2\sqrt{3})$ にうつす．

このような行列 $A$ をすべて求めよ．

[2] 傾いた平面上で，もっとも急な方向の勾配(こうばい)（傾き）が $\dfrac{1}{3}$ であるという．いま南北方向の勾配を測ったところ $\dfrac{1}{5}$ であった．東西方向の勾配はどれだけか．

[3] $xy$ 平面上で，曲線 $C:y=x^3+ax^2+bx+c$ 上の点 $\mbox{P}$ における接線 $l$ が， $\mbox{P}$ と異なる点 $\mbox{Q}$ で $C$ と交わるとする． $l$ と $C$ で囲まれた部分の面積と， $\mbox{Q}$ における接線 $m$ と $C$ で囲まれた部分の面積の比を求め，これが一定であることを示せ．

[4] 直線上に，赤と白の旗をもった何人かの人が，番号 $0$ ， $1$ ， $2$ ，…… をつけて並んでいる．
番号 $0$ の人は，赤と白の旗を等しい確率で無作為にあげるものとし，他の番号 $j$ の人は，番号 $j-1$ の人のあげた旗の色を見て，確率 $p$ で同じ色，確率 $1-p$ で異なる色の旗をあげるものとする．

このとき，番号 $0$ の人と番号 $n$ の人が同じ色の旗をあげる確率 $P_n$ を求めよ．

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