1964年(昭和39年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.04.23記

[6] 函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx$ は次の条件を満たすものとする．

(1) $f(1)=4$

(2) $x\geqq 0$ のとき $f(x)\geqq 0$

このとき $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx$ の値を最大にする $a$ ， $b$ の値，最小にする $a$ ， $b$ の値をそれぞれ求めよ．

2022.04.23記

[解答]
$f(1)=4$ により $b=3-a$ である．このとき
$\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx=\dfrac{42-4a}{24}=:I(a)$
であるから $I(a)$ は $a$ について単調減少であるから，

$f(x)=x\bigl(x^2+ax+(3-a)\bigr)$ が $x\geqq 0$ で正または0となるときの $a$ の最大値、最小値を求めれば良い．

$f(x)=x\bigl(x^2+ax+(3-a)\bigr)$ が $x\geqq 0$ で正または0となるためには
$g(x):=x^2+ax+(3-a)$
が $x\gt 0$ で正または0であれば良く，そのためには $g(0)\geqq 0$ かつ $g(-a/2)\geqq 0$ （但し $a\lt 0$ ）であればよく，
前者から $a\leqq 3$ ，後者から $-6\leqq a\lt 0$ が得られるので
$-6\leqq a\leqq 3$ となる．

よって $a=-6,b=9$ で最大， $a=3,b=6$ で最小となる．

$I(a)$ が $a$ の1次関数であるから，条件をみたす $a$ が最大、最小となる場合を探すということと， $a$ が変化するについて3次関数も滑らかに変化することから，
$f(x)$ が $x\geqq 0$ で正または0となるときの $a$ の最大値または最小値における $f(x)$ の最小値は $0$ となることが期待でき，実際
$a=-6$ のとき， $(3,0)$ が極小かつ最小（このとき $(1,4)$ が極大となっている），
$a=3$ のとき， $(0,0)$ が極小かつ最小
になっている．