[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2022年(令和4年)京都大学-数学(理系)[4]

2022.02.27記

[4] 四面体 ${\rm OABC}$ が ${\rm OA}=4$ ， ${\rm OB=AB=BC}=3$ ， ${\rm OC=AC}=2\sqrt{3}$ を満たしているとする． ${\rm P}$ を辺 ${\rm BC}$ 上の点とし， $\triangle {\rm OAP}$ の重心を ${\rm G}$ とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1) $\vec{\rm PG}\perp \vec{\rm OA}$ を示せ．

(2) ${\rm P}$ が辺 ${\rm BC}$ 上を動くとき， ${\rm PG}$ の最小値を求めよ．

2022.02.27記
$\rm OA$ の中点を $\rm M$ とすると，四面体は面 $\rm MBC$ に関して面対称である．

[解答]
$\triangle{\rm ABC}\equiv \triangle{\rm OBC}$ （3辺相等）
により $\angle{\rm ABC}\equiv \angle{\rm OBC}$ である．

これと， $\rm AB=AB$ ， $\rm BP=BP$ により
$\triangle{\rm PAB}\equiv \triangle{\rm PAB}$ （2辺夾角相等）
となり， $\rm PA=PO$ となる．

よって， $\triangle{\rm POA}$ は $\rm PA=PO$ の二等辺三角形であるから，
中線（の一部） $\rm PG$ と底辺 $\rm OA$ は垂直である．

(2) $\rm OA$ の中点を $\rm M$ とすると， ${\rm PG}=\dfrac{2}{3}{\rm PM}=\dfrac{2}{3}\sqrt{{\rm PA}^2-{\rm AM}^2}$ であるから， $\rm PA$ の最小値をまず求める．

$\rm A$ から $\rm BC$ へ下した垂線の足を $\rm H$ とおくと，簡単な計算により，
${\rm AH}=2\sqrt{2}$ ， ${\rm BH}=1$ ， ${\rm HC}=2$
が得られる．

よって $\rm H$ は線分 $\rm BC$ 上の点であるから， $\rm PA$ の最小値は $\rm P=H$ のときで $2\sqrt{2}$ となる．よって $\rm PG$ の最小値は [tex\dfrac{4}{3}] である．

「 $\rm A$ から $\rm BC$ へ下した垂線の足 $\rm H$ が線分 $\rm BC$ 上の点であること」に関する論証があるのとないのとで、差がかなりつくだろう。これは $\angle\rm B$ ， $\angle\rm C$ がともに鋭角であることから論証しても良い。