[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1968年(昭和43年)東京大学-数学(文科)[1]

2020.09.29記

[1] 1辺の長さが1の正方形 $\rm ABCD$ の内部に点 $\rm P$ をとって， $\angle\rm APB$ ， $\angle\rm BPC$ ， $\angle\rm CPD$ ， $\angle\rm DPA$ がいずれも $\dfrac{3}{4}\pi$ をこえないようにするとき，点 $\rm P$ のうごきうる範囲の面積を求めよ．ただし， $\rm C$ は $\rm A$ ととなりあわない頂点とする．

2024.02.23記

[解答]
正方形 $\rm ABCD$ の外接円を $C$ とし，正方形 $\rm ABCD$ の外側にある $C$ の内部を $D$ とすると $D$ は4つの弓形（から境界を除いたもの）からなる．

この4つの弓形を，それぞれの弦である正方形の辺に対し折り返した図形（これも4つの弓形からなる）を $E$ とするとき，点 $\rm P$ のうごきうる範囲は正方形 $\rm ABCD$ から $E$ を除いた部分となる．

ここで $E$ をなす4つの弓形は，いずれも正方形の2本の対角線に接するので互いに重なりあわないことに注意すると，求める面積は
$1-\left\{\pi\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-1\right\}=2-\dfrac{\pi}{2}$
となる．