2023年(令和5年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.22記

[6] $\mbox{O}$ を原点とする座標空間において，不等式 $|x|\leqq1$ ， $|y|\leqq1$ ， $|z|\leqq1$ の表す立方体を考える．その立方体の表面のうち， $z\lt 1$ を満たす部分を $S$ とする．以下，座標空間内の2点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ が一致するとき，線分 $\mbox{AB}$ は点 $\mbox{A}$ を表すものとし，その長さを $0$ と定める．

(1) 座標空間内の点 $\mbox{P}$ が次の条件(i)，(ii)をともに満たすとき，点 $\mbox{P}$ が動きうる範囲 $V$ の体積を求めよ．

(i) $\mbox{OP}\leqq\sqrt{3}$

(ii) 線分 $\mbox{OP}$ と $S$ は，共有点を持たないか，点 $\mbox{P}$ のみを共有点に持つ．

(2) 座標空間内の点 $\mbox{N}$ と点 $\mbox{P}$ が次の条件(iii)，(iv)，(v)をすべて満たすとき，点 $\mbox{P}$ が動きうる範囲 $W$ の体積を求めよ．必要ならば， $\displaystyle \sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt3}$ を満たす実数 $\alpha$ $\displaystyle \left( 0\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{2} \right)$ を用いてよい．

(iii) $\mbox{ON}+\mbox{NP}\leqq\sqrt{3}$

(iv) 線分 $\mbox{ON}$ と $S$ は共有点を持たない．

(v) 線分 $\mbox{NP}$ と $S$ は，共有点を持たないか，点 $\mbox{P}$ のみを共有点に持つ．

2023.11.23記

[解答]
(1) $\mbox{OP}=\sqrt{3}$ かつ $\mbox{OP}$ が
$(1,1,1)$ ， $(1,-1,1)$ ， $(-1,-1,1)$ ， $(-1,1,1)$
を4頂点とする正方形の周または内部を動くことで得られる錐状の立体を6個集めると半径 $\sqrt{3}$ の球となるので，その体積は
$\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{4}{3}\pi(\sqrt{3})^3=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\pi$
となり，立方体の内部の残りの部分は立方体の体積の $\dfrac{5}{6}$ だから $\dfrac{20}{3}$ となり，これを加えて
$\dfrac{2\sqrt{3}\pi+20}{3}$
となる．

(2) 折れ線 $\mbox{ONP}$ が $\mbox{A}(1,1,1)$ ， $\mbox{B}(1,-1,1)$ を結ぶ線分（両端含む）を動く範囲は $\mbox{O}$ 中心，半径 $\sqrt{3}$ の扇形 $\mbox{OAB}$ を線分 $\mbox{AB}$ で折り曲げたときに扇型の通過する部分となる．

よって $W$ のうち $V$ の外側の部分の体積の， $y=k$ （ $x\geqq 0$ ）の部分の断面は半径 $\sqrt{3-k^2}-\sqrt{2}$ ，中心角 $\dfrac{3\pi}{4}$ の扇形であるから，その面積は
$\dfrac{3}{8}\pi\{5-k^2-2\sqrt{2}\sqrt{3-k^2}\}$
となる．よって $W$ のうち $V$ の外側の部分の体積 $W'$ は
$W'=8\cdot\dfrac{3}{8}\pi\displaystyle\int_0^1 \{5-k^2-2\sqrt{2}\sqrt{3-k^2}\} dk$
$=14\pi-6\sqrt{2}\pi\displaystyle\int_0^1 \sqrt{3-k^2} dk$
となるが，
$\displaystyle\int_0^1 \sqrt{3-k^2} dk$
の値は扇形と三角形の面積に分割することにより，
$\dfrac{3\alpha}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
となるので，
$W'=14\pi-6\sqrt{2}\pi\left(\dfrac{3\alpha}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $=8\pi-9\sqrt{2}\alpha\pi$
となる．これに $V$ の体積を加えて， $W$ の体積は
$\dfrac{2\sqrt{3}\pi+20}{3}+8\pi-9\sqrt{2}\alpha\pi$
となる．