1968年(昭和43年)東京大学-数学(文科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[5] 平面上の点 $(a，b)$ の，直線 $2x-y=p$ に関する対称点をとり，次にこれを原点を中心として正の向きに $90^{\circ}$ 回転し，さらに直線 $x+2y=q$ に関する対称点をとると，はじめの点 $(a，b)$ に一致する．このとき， $p，q$ を用いて $a，b$ を表わせ．

2024.02.23記

[解答]
点 $(a，b)$ の，直線 $2x-y=p$ に関する対称点を $(s，t)$ とおくと，
点 $(a，b)$ の，直線 $x+2y=q$ に関する対称点は $(-t，s)$ となる．

よって
$2\cdot\dfrac{a+s}{2}-\dfrac{b+t}{2}=a-\dfrac{b}{2}+s-\dfrac{t}{2}=p$ …①，
$(a-s)+2(b-t)=a+2b-s-2t=0$ …②，
$\dfrac{a-t}{2}+2\cdot\dfrac{b+s}{2}=\dfrac{a}{2}+b+s-\dfrac{t}{2}=q$ …③，
$2(a+t)-(b-s)=2a-b+s+2t=0$ …④
が成立する．② $+$ ④から
$3a+b=0$
であり， $2(①-③)$ から
$a-3b=2(p-q)$
であるから，
$a=\dfrac{p-q}{5}$ ， $b=\dfrac{3(q-p)}{5}$
が成立する．このとき，①〜④は
$2s-t=2p-5a=2q+5a=p+q$ ， $s+2t=-5a=q-p$
となり確かに $s，t$ も存在する．

与えられた2直線が直交することを利用して基底を取り直す．

[別解]
$\vec{a}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(1，2)$ ， $\vec{b}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(-2，1)$ とおき $(a，b)$ $=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$ とおく．

直線 $2x-y=p$ は $-\dfrac{p}{\sqrt{5}}\vec{b}+\lambda\vec{a}$ （ $\lambda\in\mathbb{R}$ ）となり，直線 $x+2y=q$ は $\dfrac{q}{\sqrt{5}}\vec{a}+\mu\vec{b}$ （ $\mu\in\mathbb{R}$ ）となるので，それぞれの直線に関する対称点は
$\alpha\vec{a}+(-2\dfrac{p}{\sqrt{5}}-\beta)\vec{b}$ ， $(2\dfrac{q}{\sqrt{5}}-\alpha)\vec{a}+\beta\vec{b}$
となる，前者を正の向きに $90^{\circ}$ 回転すると後者に一致するので
$2\dfrac{p}{\sqrt{5}}+\beta=2\dfrac{q}{\sqrt{5}}-\alpha$ ， $s=t$
が成立する．よって $\alpha=\beta=\dfrac{q-p}{\sqrt{5}}$ となる．

このとき
$(a，b)$ $=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$ $=\dfrac{q-p}{5}\{(1，2)+(-2，1)\}$ $=\dfrac{q-p}{5}(-1，3)$
であるから，
$a=\dfrac{p-q}{5}$ ， $b=\dfrac{3(q-p)}{5}$
となる．

これを複素平面に焼き直す．

[別解2]
$u=\dfrac{1+2i}{\sqrt{5}}$ とおき $w=a+bi$ ， $\omega=\dfrac{w}{u}=\alpha+\beta i$ とおく．

直線 $2x-y=p$ は $\mbox{Im}\left(\dfrac{z}{u}\right)=-\dfrac{p}{\sqrt{5}}$ ，
直線 $x+2y=q$ は $\mbox{Re}\left(\dfrac{z}{u}\right)=\dfrac{q}{\sqrt{5}}$
となるので， $w$ のそれぞれの直線に関する対称点を $v$ ， $v i$ とすると
$\mbox{Re}\left(\dfrac{v}{u}\right)=\mbox{Re}(\omega)$ …①，
$\mbox{Im}\left(\dfrac{v}{u}\right)=-2\dfrac{p}{\sqrt{5}}-\mbox{Im}(\omega)$ …②，
$\mbox{Re}\left(\dfrac{v i}{u}\right)=2\dfrac{q}{\sqrt{5}}-\mbox{Re}(\omega)$ …③，
$\mbox{Im}\left(\dfrac{vi}{u}\right)=\mbox{Im}(\omega)$ …④
となる．③④は
$-\mbox{Im}\left(\dfrac{v}{u}\right)=2\dfrac{q}{\sqrt{5}}-\mbox{Re}(\omega)$ ，
$\mbox{Re}\left(\dfrac{v}{u}\right)=\mbox{Im}(\omega)$
と変形できるので②③から
$\mbox{Re}(\omega)+\mbox{Im}(\omega)=\dfrac{2(q-p)}{\sqrt{5}}$ ，
①④から
$\mbox{Re}(\omega)=\mbox{Im}(\omega)$
となり，結局
$\mbox{Re}(\omega)=\mbox{Im}(\omega)=\dfrac{q-p}{\sqrt{5}}$
となる．よって
$\omega=\dfrac{q-p}{\sqrt{5}}(1+i)$
となり， $w=\dfrac{q-p}{\sqrt{5}}(1+i)\cdot\dfrac{1+2i}{\sqrt{5}}$ $=\dfrac{q-p}{5}(-1+3i)$ となる．

以上から
$a=\dfrac{p-q}{5}$ ， $b=\dfrac{3(q-p)}{5}$
となる．