1968年(昭和43年)東京大学-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[4] 次の条件を満たす3 次の多項式 $f(x)$ を求めよ．

(i) 多項式 $g(x)$ の次数が2 をこえないならば，つねに $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)g(x)dx=0$

(ii) $\displaystyle \int_{-1}^1 \{f(x)\}^2dx=1$

(iii) $f(1)\gt 0$

本問のテーマ

2020.09.16記

[大人の解答]（になってない）
$P_3(x)=\dfrac{1}{2}(5x^3-3x)$ とすると、 $||P_3(x)||=\dfrac{2}{7}$ だから
$f(x)=\dfrac{\sqrt{14}}{2}P_3(x)=\dfrac{\sqrt{14}}{4}(5x^3-3x)$

2024.02.23記

[解答]
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とおく，(i)は積分の性質から $g(x)=1，x，x^2$ で
$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)g(x)dx=0$
が成り立つことが必要十分である．よって
$\dfrac{2b}{3}+2d=0$ ，
$\dfrac{2a}{5}+\dfrac{2c}{3}=0$ ，
$\dfrac{2b}{5}+\dfrac{2d}{3}=0$ ，
つまり $3a+5c=0，b=d=0$ が必要十分．

このとき $f(x)=ax^3+cx$ であるから(ii) より
$\dfrac{2a^2}{7}+\dfrac{4ab}{5}+\dfrac{2b^2}{3}=1$
となるが， $3a+5c=0$ により $(a，c)=\left(\pm\dfrac{5\sqrt{14}}{4}，\mp\dfrac{3\sqrt{14}}{4}\right)$ （複号同順）となる．