[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2020.09.29記

[5] 整数を係数とする次数 3 の多項式 $P(x)$ で，次の条件を満たすものを求めよ．

(1) $P(x)$ のグラフは原点に関して対称である．

(2) $P(x)=0$ は重根をもたない．

(3) $P(x)$ は極大値も極小値ももたない．

(4) $P\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)$ は整数である．

(5) $0\lt P(1)\lt 6$ である．

2024.02.23記

[解答]
(1) により $P(x)=ax^3+bx$ とおくことができる．

(2) により $b\neq 0$ である．

このとき， $P'(x)=3ax^2+b$ であるから，(3) により $ab\gt 0$ である．

(4) により $8P\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)$ $a+4b$ は8の倍数だから $a$ は4の倍数である．

(5) により $0\lt a+b\lt 6$ であり， $ab\gt 0$ から $a，b\gt 0$ で， $a$ は4の倍数から $a=4$ ， $b=1$ となる．

よって $P(x)=4x^3+x$ である．