1972年(昭和47年)東京大学-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] 複素数 $z$ ， $w$ の間に $w=z^2$ なる関係があり，複素平面において点 $z$ は四点 $1+i$ ， $2+i$ ， $2+2i$ ， $1+2i$ を頂点とする正方形の内部を動くものとする．このとき，複素平面において，点 $w$ の動く範囲の面積を求めよ．

ただし， $i$ は虚数単位をあらわす．

2020.09.24記
$w=z^2$ は複素関数で必ず勉強しますよね。

実軸に平行な直線は左側に開いた放物線に，虚軸に平行な直線は右側に開いた放物線になる．いずれも実軸が放物線の軸になっているのが面白い。この写像は原点を除いて等角写像となるので、左側に開いた放物線と右側に開いた放物線は直交している。

[大人の解答]
$z=x+iy$ ， $w=X+iY$ とおくと， $X=x^2-y^2$ ， $Y=2xy$ なのでヤコビ行列 $\dfrac{\partial (X,Y)}{\partial (x,y)}=\begin{pmatrix} 2x & -2y \\ 2y & 2x \end{pmatrix}$ だからヤコビアンはヤコビ行列の行列式である $4(x^2+y^2)$ となる．よって
$dXdY=4(x^2+y^2)dxdy$
となり，求める面積は
$\displaystyle　\int dXdY =\int_1^2 \int_1^2 4(x^2+y^2) dxdy$ $= 4\displaystyle \int_1^2 \{ x^2 +\dfrac{7}{3} \} dx$
$=\displaystyle 4\Bigl(\dfrac{7}{3}+\dfrac{7}{3}\Bigr)$ $=\dfrac{56}{3}$

$z$ が $1$ 中心半径 $1$ の円周上を動くとき， $w$ はカージオイドを動く。

2021.02.20記
$z$ が $1$ 中心半径 $1$ の円周上を動くとき， $w$ はカージオイドを動く話は
2018年(平成30年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
参照のこと．

2021年(令和3年)早稲田大学理工学部(全5問) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
でも $w=z^2$ が出題されたので

「実軸に平行な直線は左側に開いた放物線に，虚軸に平行な直線は右側に開いた放物線になる．いずれも実軸が放物線の軸になっているのが面白い。この写像は原点を除いて等角写像となるので、左側に開いた放物線と右側に開いた放物線は直交している。」

を説明しておく．

$z=x+yi$ ， $w=X+Yi$ とおくと $X=x^2-y^2$ ， $Y=2xy$ だから，実部一定，つまり $x$ が一定のとき

(i) $x=0（虚軸）$ の像は $Y=0 かつ X\leqq 0$

(ii) $x\neq 0$ の像は放物線 $X=-\dfrac{Y^2}{4x^2}+x^2$

となり，虚部一定，つまり $y$ が一定のとき

(i) $y=0（実軸）$ の像は $Y=0 かつ X\geqq 0$

(ii) $y\neq 0$ の像は放物線 $X=\dfrac{Y^2}{4y^2}-y^2$

となる．ヤコビ行列 $\dfrac{\partial (X,Y)}{\partial (x,y)}=\begin{pmatrix} 2x & -2y \\ 2y & 2x \end{pmatrix}$ は $(x,y)\neq (0,0)$ のとき，回転拡大行列となっているので，原点を除いて等角写像となっている．

$w=z^2$ による一般の直線の像を考える．
直線の法線ベクトルを $\alpha$ ，原点と直線の距離を $d$ とすると，直線の方程式は
$\mbox{Re}\Bigl(\dfrac{z}{\alpha}\Bigr)=d$
となるので，その像は $d=0$ のときは半直線， $d\neq 0$ のときは実軸を対称軸とする放物線になる． $w=\alpha^2\Bigl(\dfrac{z}{\alpha}\Bigr)^2$ だから，その放物線（または半直線）を $\alpha^2$ によって回転拡大した放物線となっていることがわかる．