2018年(平成30年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.30記

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2021.01.24記
カージオイドが反転で放物線に移ることは良く知られている．詳細は
遠藤一成，カージオイド（心臓形）について，数研通信38号(2000年9月)[pdf]
大島利雄，高校生のための現代数学講座「複素数」講義(1)2008年7月26日[pdf]
などを参照のこと．なお，大島利雄先生は dviout の製作者としても有名である．

遠藤には，問3，4として
$w=z^2$ で円 $|z-1|=1$ がカージオイドに移り，
原点に尖点をもつカージオイド $r=\dfrac{a}{2}(1+\cos\theta)$ (極座標) は反転で $y^2=-\dfrac{4}{a}\Bigl(x-\dfrac{1}{a}\Bigr)$ (直交座標)に移ることが示されている（本問の場合は $a=4$ ）．

[大人の解答]

半径1の円の外側に半径1の円を滑らずに転がすとき，円周上の定点の描く曲線はカージオイドとなる．
つまり， ${\rm Q}(u)$ は $1$ に尖点をもち，左側にふくらんだ実軸対称なカージオイドとなる．
${\rm R}(v)$ ， $v=1-u$ とおくと， ${\rm R}(v)$ $0$ に尖点をもち，右側にふくらんだ実軸対称なカージオイドとなる．よって ${\rm X}(w)$ は，このカージオイドを反転して実軸に関して対称移動したものとなる．原点を尖点とするカージオイドを反転させると放物線となるので，求める軌跡は放物線となる．

ここで $z=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}\to -1\to \dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}$ と単位円周上を連続的に追跡することにより，
放物線は $z=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}\to \dfrac{1}{4}\to \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ と動くので，求める軌跡は　 $w=x+yi$ とすると $x=\dfrac{1}{4}-y^2$ の $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq y\leqq\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の部分を動く．

普通に解くと次のようになる．

[解答]

(1) $|z|=1$ （ $z\neq 1$ ）とする．
$C$ の $z$ における接線上の点を $Z$ とすると， $\mbox{Re}\Bigl(\dfrac{Z}{z}\Bigr)=1$ をみたすので， $\dfrac{1}{z}$ と $\dfrac{u}{z}$ の実部の和は2，虚部は等しい．よって $\dfrac{1}{\bar{z}}+\dfrac{u}{z}=2$ が成立し， $u=z(2-z)$ となる．

また， $w=\dfrac{1}{1-u}=\dfrac{1}{(z-1)^2}$ だから， $\dfrac{\overline{w}}{w}$ $=\dfrac{(z-1)^2}{(\overline{z}-1)^2}$ $=\dfrac{z^2(z-1)^2}{(1-z)^2}$ $=z^2$ となる．

よって， $\dfrac{|w+\overline{w}-1|}{|w|}=| 1+z^2-(z-1)^2|=2|z|=2$

(2) $\Bigl|\mbox{Re}(w)-\dfrac{1}{2}\Bigr|=|w|$ であるから， $w$ は原点を焦点，実部が $\dfrac{1}{2}$ である直線を準線とする放物線を描く．
$z=\cos\theta+i\sin\theta$ のとき，簡単な計算により， $w=\dfrac{-\overline{z}}{4\sin^2\dfrac{\theta}{2}}$ となるので， $\dfrac{\pi}{3}\leqq \arg (z) \leqq\dfrac{5\pi}{3}$ から， $-\dfrac{2\pi}{3}\leqq \arg (w)=\arg(-\overline{z}) \leqq\dfrac{2\pi}{3}$ となるので，放物線の $-\dfrac{2\pi}{3}\leqq \arg (w)\leqq\dfrac{2\pi}{3}$ の部分，すなわち，2点 $\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$ を結ぶ弧(両端含む)となる．