2018年(平成30年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.30記

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2021.01.24記
$k$ が十分小さいときは， $y=x^2$ （ $-1\leqq x\leqq 1$ ）変動量（ $y$ は $-1\to 0\to 1$ と上下に合計2だけ動く）に近づき，
$k$ が十分大きいときは，線分 $\rm OA$ の長さに近づく．

[解答]

$y=kx^2$ （ $-\dfrac{1}{k}\leqq x\leqq \dfrac{1}{k}$ ）を $x$ 軸方向に $0\sim k$ だけ平行移動してできる領域を考えれば良い．

ここで放物線 $y=kx^2$ （ $-\dfrac{1}{k}\leqq x\leqq \dfrac{1}{k}$ ）の任意の点が動く長さは $k$ である．

(i) $0\lt k\leqq \sqrt{2}$ のとき，平行移動後の放物線の左端は，平行移動前の放物線の右端より左にあるので，求める面積は
$S(k)$ $=k\cdot2\cdot \dfrac{1}{k}-2\displaystyle\int_0^{k/2} kx^2 dx$ $=2-2\cdot\dfrac{k^4}{24}$ $=2-\dfrac{k^4}{12}$ となり
$S(k)\to 2$ （ $k\to +0$ ）

(ii) $\sqrt{2}\leqq k$ のとき，平行移動後の放物線の左端は，平行移動前の放物線の右端より右にあるので，求める面積は
$S(k)$ $=k\cdot\dfrac{1}{k}+\displaystyle\int_{-1/k}^{1/k} \Bigl(\dfrac{1}{k}-kx^2\Bigr) dx$ $= 1+\dfrac{k}{6}\cdot\Bigl(\dfrac{k}{2}\Bigr)^3$ $=1+\dfrac{4}{3k^2}$ となり
$S(k)\to 1$ （ $k\to +\infty$ ）