1972年(昭和47年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] 平面上の三角形 $\rm ABC$ において，頂点 $\rm A$ を通り辺 $\rm AB$ ， $\rm AC$ に垂直な直線をそれぞれ $h$ ， $k$ とする． $\rm B$ の $k$ に関する対称点を ${\rm B}'$ ， $\rm C$ の $h$ に関する対称点を ${\rm C}'$ とする．ベクトル $\mathbf{b}=\vec{\rm AB}$ ， $\mathbf{c}=\vec{\rm AC}$ ， $\mathbf{b'}=\vec{{\rm AB}'}$ ， $\mathbf{c'}=\vec{{\rm AC}'}$ の間に $\mathbf{b'}=\mathbf{b}+\mathbf{c}$ ， $\mathbf{c'}=m\mathbf{b}+\mathbf{c}$ （ $m$ は正の整数）， $|\mathbf{b}|=1$ が成り立つとき， $m$ ， $\angle\rm BAC$ ，および $|\mathbf{c}|$ を求めよ．ただし $|\mathbf{a}|$ はベクトル $\mathbf{a}$ の長さをあらわす．また $0\lt \angle\rm BAC\lt\pi$ とする．

2020.09.24記
単純リー代数のキリング・カルタンの分類。
ja.wikipedia.org

一般に $m$ は $-4$ から $4$ があるが、 $m$ は正の整数なので、 $m=1,2,3,4$ である．
また $m=4$ のときは三角形でなくなるので、 $m=1,2,3$ となる．

$m=1$ のときは正6角形の $A_2$ で su(3) のリー代数，
$m=2$ のときは正方形の $B_2$ で so(5) のリー代数，
$m=3$ のときは六芒星の $G_2$ と呼ばれる例外型リー代数。
shironetsu.hatenadiary.com

2021.10.08記

[解答]

$|\mathbf{c}|=c$ （ $\neq 0$ ）とおき， $\angle\rm BAC=\theta$ とおく．

点 ${\rm B}'$ について， $\vec{{\rm BB}'}\parallel \vec{\rm AC}$ かつ $\mathbf{b'}=\mathbf{b}$ により， $1=1+2c\cos\theta+c^2$ ，つまり $2\cos\theta+c=0$ …(i) が成立する．
ここで $0\lt \theta\lt \pi$ であるが， $c\gt 0$ より　 $\theta$ は鈍角である．…(ii)

点 ${\rm C}'$ について， $\vec{{\rm CC}'}\parallel \vec{\rm AB}$ かつ $\mathbf{c'}=\mathbf{c}$ により，
$c^2=m^2+2mc\cos\theta+c^2$ ，つまり $m+2c\cos\theta=0$ …(iii) が成立する．

よって(i)(iii)より $\theta$ を消去して $m=c^2$ となり，(i) から $m=4\cos^2\theta$ となる．ここで(ii)より $0\lt \cos^2\theta\lt 1$ であり， $m$ は正の正数であるから $m=1,2,3$

(a) $m=1$ のとき， $\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$ より $\angle\rm BAC=\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ ， $|\mathbf{c}|=c=1$ である．

(b) $m=2$ のとき， $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ より $\angle\rm BAC=\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ ， $|\mathbf{c}|=c=\sqrt{2}$ である．

(c) $m=3$ のとき， $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より $\angle\rm BAC=\theta=\dfrac{5\pi}{6}$ ， $|\mathbf{c}|=c=\sqrt{3}$ である．

以上から， $(m,\angle{\rm BAC},|\mathbf{c}|)=\left(1,\dfrac{2\pi}{3},1\right)$ ， $\left(2,\dfrac{3\pi}{4},\sqrt{2}\right)$ ， $\left(3,\dfrac{5\pi}{6},\sqrt{3}\right)$ となる．